שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.
»
«
מהם מגדלי האנוי?
מגדלי האנוי הם שם של חידה מפורסמת שהומצאה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס בשנת 1883. ב"מגדלי הנוי" נתון מגדל עם דיסקיות שהיקפן הולך ונעשה קטן ככל שהן עליונות (הרחבות למטה). מטרת החידה היא להעביר את כל המגדל בשלמותו לאחד משני העמודים הריקים שלידו. כמובן שיש להעביר את הדיסקיות במה שפחות צעדים וכמה שיותר מהר.
החידה משמשת ללימוד מתמטיקה ומדעי המחשב ולהמחשת מושגים כמו רקורסיה (ראו באאוריקה בתגית "רקורסיה"). עוד פרט מעניין - אם נסמן בנקודה כל מצב חוקי במשחק מגדלי האנוי, ונקשר בקווים את המצבים שבהם אפשר לעבור מאחד לשני, נקבל למול עינינו את גרף המשחק, בצורה של הפרקטל המוכר כ"משולש שרפינסקי".
אגב, לוקאס המציא גם אגדה שמדובר במקדש בראהמי שבו הכהנים מעבירים מגדל בן 64 דיסקיות. על פי האגדה שלו, כשיסיימו הכהנים את עבודתם, יגיע גם סוף העולם..
ישנם כללים להעברה:
א. בכל שלב תעבור רק דיסקית אחת מקום.
ב. אסור שיהיה מצב שדיסקית תהיה מונחת על דיסקית קטנה יותר.
הנה דרך לפתרון של חידת מגדלי האנוי:
http://youtu.be/BMkOBNZHcIs
מהו משולש סירפינסקי?
משולש שרפינסקי, שנקרא גם ספוג שרפינסקי או משולש סירפינסקי, הוא אחד הפרקטלים המפורסמים. את ההיכרות עימו עשו המתמטיקאים בשנת 1915. המשולש קיבל את שמו מהמתמטיקאי הפולני שתיאר אותו לראשונה, ואצלב שרפינסקי.
משולש שרפינסקי הוא דוגמה מצוינת ופשוטה במיוחד לפרקטל, צורה שמורכבת מעותקים מוקטנים של עצמה, עד אינסוף. הוא בנוי משלושה עותקים שלו שהוקטנו בחצי שוב ושוב.
הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר, להדגמת הרקורסיה הפשוטה:
http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s
סרט אפל מתורגם ומדהים על הפרקטלים ומשולש שרפינסקי בתוכם (מתורגם):
https://youtu.be/0C75vRVL5lE
סרטון בגרפיקת מחשב של "משולש סירפינסקי" שנבנה ברקורסיה בתלת-מימד:
http://youtu.be/P5EkdJRtF-4
משולש שרפינסקי מסוכריות של החג הנוצרי המעט מפחיד "ליל כל הקדושים":
http://youtu.be/z8ZWlUamNPI
וכך יוצרים פרקטלים כמו משולש סרפינסקי:
http://youtu.be/XwWyTts06tU?t=1m22s
מהם פרקטלים?
הפרקטל הוא צורה שככל שנביט בה קרוב יותר, נראה את אותה הצורה חוזרת על עצמה בכל קנה מידה. זוהי צורה גאומטרית שמורכבת פנימה, שוב ושוב, מעותקים של עצמה, מוקטנים יותר ויותר. ככל שנתבונן לתוך חלקי הפרקטל, נראה שם תמיד חלקים הדומים לו, כך שכל פרט זעיר בצורה, דומה לצורה המקורית והגדולה ביותר.
בגרפיקה ממוחשבת עושים המון שימוש בפרקטלים. הסיבה היא שנוסחאות מתמטיות קלות יחסית מאפשרות ליצור הרים ומרקמים מורכבים ליצירה בצורה אחרת. גם בפיזיקה משתמשים בפרקטלים למחקרים על תורת הכאוס וכדומה.
בטבע אפשר לראות מבנים שונים שדומים לפרקטלים. מבנים בטבע כמו צורת הכרובית, מבנה העורקים של העלה, התפצלות כלי הדם בגוף, פתית שלג או צורת קו חוף (במיוחד של הפיורדים בנורווגיה) - כל אלה מזכירים מאד את הפרקטלים ומראים שבטבע יש שיטה גם בדברים שאינם מובנים בצורה מתמטית.
הנה סרטון הסבר למושג הפרקטל (מתורגם):
http://youtu.be/Tm0U2VxFd8Q
הסבר מילולי על הפרקטלים - מהתבניות היותר מעניינות שבטבע (עברית):
http://youtu.be/ofA2tBvcbhw?t=3m38s
המתמטיקה של הפרקטלים בסרטון מקסים לפי ז'אנר הסרט האפל (מתורגם):
https://youtu.be/0C75vRVL5lE
הפרקטלים שבטבע:
https://youtu.be/XwWyTts06tU
עוד פרקטלים בטבע:
https://youtu.be/dZM45mfJQ40
להדגמת הרקורסיה הפשוטה, הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר:
http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s
ופרקטל מתמטי ללא סוף, בגרפיקה ממוחשבת ואנימציה מוסיקה נהדרים:
https://youtu.be/hRrBnI5L0u8?long=yes
האם הצופן התנכ"י מנבא את מה שיקרה?
הצופן התנכ"י, או הקוד התנכ"י, הם כינויים לשיטה שמאמינה שניתן לראות סימנים בתנ"ך לאירועים היסטוריים שיקרו. מאמיני השיטה גורסים שעל ידי קריאה של התנ"ך בדילוגי אותיות, ניתן למצוא נבואות לדברים שיקרו בעתיד. הכינוי של הצופן התנכ"י, בא מספר בשם זה שבו הציג הכותב מייקל דרוזנין את השיטה.
השיטה של קריאת התנ"ך בדילוג של כמה אותיות, במרווח קבוע, מאפשרת למצוא כל צירוף שמחפשים. אם נחפש למשל את הצירוף 'שלום עם לבנון' בדילוגים של מספר קבוע של אותיות, נוכל למצוא אותו כמעט בביטחון מוחלט. כך לדוגמה, יתכן שתופיע בפסוק כלשהו בתנ"ך האות ש', שבע אותיות אחריה תופיע האות ל', שבע אחריה האות ו', עוד שבע אותיות מ' וכן הלאה. ואם לא בדילוגים של 7 אותיות אז 3, 4, 5, 6, 8, וכן הלאה...
טכנולוגיות המחשוב המודרני מאפשרות יכולות פענוח מדהימות, שנועדו לפענוח צפנים ומיושמות כאן בדרך מקורית ואף אידאולוגית. כי אם יש צפנים נסתרים ונבואות בכתבי הקודש, הרי שיש בכך חיזוק לאמונה ולדת. ואכן, ברעיון הקוד התנ"כי משתמשים בין השאר מחזירים בתשובה ביהדות, שמוכיחים בעזרתו את החכמה האלוהית שבתנ"ך. מיסיונרים נוצרים, מצידם מייחסים את התבונה הזו למסרים סודיים שהעביר ישו למאמינים. בצעירותו עסק בחקר השיטה גם גדול המדע אייזק ניוטון.
גם המדע חקר את הדברים. ההנחה הראשונית הייתה שיש בסך הכל סטטיסטיקה של טקסטים גדולים, שבהם ניתן למצוא כל צירוף שמחפשים. בעוד שחוקרים מסוימים מצאו שסטטיסטיקה רגילה לא יכולה להסביר את הממצאים המדהימים שמצאו בספר "בראשית", מצאו חוקרים אחרים שגם בספרים עבי-כרס אחרים, כמו "מלחמה ושלום" של טולסטוי (או "הארי פוטר"), יש ריכוז דומה של ממצאים. ועדת חוקרים בכירה שמינתה האוניברסיטה העברית בירושלים, בראשות חתן פרס נובל ישראל אומן וחתן פרס ישראל הלל פורסטנברג, מצאה שאין בסיס מדעי לשיטה ופסלה סופית את האפשרות שמידע מוצפן על העתיד חבוי בין פרקי התורה והתנ"ך בכלל.
כך מוצג הקוד התנכ"י על ידי המאמינים שהוא מנבא את העתיד לקרות (עברית):
http://youtu.be/NcL7nG9rvvs
הסבר נגדי על הצופן התנכ"י (מתורגם):
http://youtu.be/OGxxWE7msH8
תיאוריית ראמזי שמצמיחה חלק גדול מתיאוריות הקונספירציה הללו (מתורגם):
https://youtu.be/88_C-fogY40
כך יכול למשל הצופן התנכ"י ניבא את רצח ראש הממשלה יצחק רבין ואז מראה כיצד ניתן לראות שם בעתיד את רצח המרצה (עברית):
http://youtu.be/H9anECrH_38
ודעתו של זוכה פרס נובל על הקוד התנכ"י (עברית):
http://youtu.be/IN7n4PEJ5CY?long=yes
איפה יש פרקטלים בטבע?
ודאי היכרתם או קראתם באאוריקה על הפרקטלים, אותן צורות מתמטיות מיוחדות שהתגלו על ידי חוקר הפרקטלים בנואה מנדלברוט והעסיקו חוקרים רבים מתחילת המאה ה-20.
את הפרקטלים ניתן לזהות בכך שיש להם דמיון עצמי. כלומר, כל חלק בהם דומה לדבר השלם. גם בטבע ישנם לא מעט דברים שאם נביט בחלק קטן מהם נגלה את אותה צורה של השלם - בקנה מידה קטן. וגם בחלק הקטן הזה, אם נביט בעזרת זכוכית מגדלת, נוכל לראות שחלקיו שלו דומים גם הם לשלם וחלק הזה וכך זה יכול להמשיך עוד ועוד פנימה. תמיד אותה צורה ושמה...
אז אומרים לכם שכל כך הרבה פרקטלים יש בטבע ואפשר לראותם כמעט בכל מקום. אבל איפה זה בדיוק בכל מקום?
ובכן, בכרובית, בברקים, בריאות, שרכים, מפלים, בפתיתי שלג, בנימי העלה, בענפי העצים, גבישי הקרח, בענני קומולוס, בכלי הדם שלנו, בבועות סבון, בחופי ים מפורצים של פיורדים נורווגיים או בחופי אגמים כמו אגם נאצר שבמצרים, בשוניות אלמוגים במעמקי הים ועד לגלקסיות הענקיות שבחלל.
כן. בטבע נוכל למצוא צורות רבות שיש להן תכונות פרקטליות. דוגמה מפורטת היא לצלם את אורכו של חוף ים ממטוס ולראות שצורתו דומה מאד לזו שנראה בטיול לאורך החוף, כשנביט בפרטים הקטנים שלו. גם מדידת אורכו של קו החוף תגלה לנו דבר מדהים - אורכו הוא בפשטות אינסופי. זה קורה משום שקנה המידה משפיע על המדידה. אם נחשב אורך חוף מתמונת לוויין נקבל אורך קטן בהרבה מזה שיתקבל אם נמדוד את הדרך שעושה נמלה ההולכת לאורכו. הסיבה היא שהשיפולים והשיפועים שחווה הנמלה בקו החוף מאריכים לה את הדרך בטירוף. זה סוג של פרקטל - הנמלה רואה את צורת קו החוף, שהיא זהה לצורה שמצלם הלווים מהחלל.
פרקטלית היא גם הכרובית למשל. אם נחתוך אותה לאורך, נראה שיש בה התפצלויות שיוצרות המון כרוביות קטנות, שבעצמן מתפצלות כל אחת לכרוביות זעירות, שבכל אחת יש כרוביות מיקרוסקופיות והלאה.
בצורה דומה מתפצלות הריאות שלנו או כלי הדם שבגופנו. אבל אתם לא יכולים להביט אל תוך הלב, אז קחו עלה של עץ או שיח ושימו לב לנימים של העלה. נכון שהם מסתעפים ומתפצלים עוד ועוד, כשמכל נים יוצאים נימים קטנים, שמהם יוצאים נימים זעירים וכך הלאה? - גם בכלי הדם שבגופנו יוצאים כך עשרות כלי דם קטנים מכל אחד, בתבנית החוזרת על עצמה שוב ושוב, עד לנימים זעירים ודקיקים במיוחד.
הנה הסבר הפרקטלים שבטבע:
https://youtu.be/Tm0U2VxFd8Q
שלל פרקטלים טבעיים:
https://youtu.be/4IRLvYOZD8A
עוד פרקטלים בטבע:
https://youtu.be/XwWyTts06tU
ואובייקטים טבעיים שהם פרקטלים:
https://youtu.be/dZM45mfJQ40
מהו קליידוסקופ?
את הקליידוסקופ (Kaleidoscope) המציא סר דייוויד ברוסטר ב-1816. הקליידוסקופ היה אז מכשיר אופטי, שבעזרתו המחישו צורות סימטריות שונות. כיום משתמשים בו בעיקר לשעשוע. הוא מבוסס על צורות סימטריות בשלל צבעים, כשכל סיבוב של הגליל מציג תבנית חדשה מתוך מגוון של צבעים ותבניות, שמשתנה כשמסובבים את הקליידוסקופ.
הקליידוסקופ בנוי כצורת גליל שיש בו מראות. במראות הללו משתקפים עצמים שונים, כמו שברי זכוכית צבעוניים שלרוב מוכנסים לתוכו. כשמביטים פנימה דרך חור בקצה הגליל, והאור נכנס מהקצה השני, ההשתקפויות המשתנות של שברי הזכוכית הללו יוצרות תמונות סימטריות ומהממות ביופיין. התמונות שנוצרו יוצרות לא פעם תבניות חוזרות ומרתקות, שההשתקפויות מכפילות להמון צדדים ויוצרות להן עומק וממדים מרהיבים.
המילה הקליידוסקופ לקוחה מהשפה היוונית ופירושה "צופה בתמונה יפה".
זה מה שרואים בקליידוסקופ:
http://youtu.be/peZ-MjD9pgk
קבלו צורות קליידוסקופיות:
http://youtu.be/9GMtj_-3BOc
קליידוסקופ מראות הופך הכל לקסום:
http://youtu.be/zCFdLrXI3yM
כך יוצרים קליידוסקופ בעצמכם (עברית):
https://youtu.be/LUawR882X4M
מדריך לבניית קליידוסקופ באנגלית:
https://youtu.be/Z2TDK_OQWU0
אפשר גם לראות אחד שבנוי אחרת לגמרי:
https://youtu.be/6_8omObsfgM
ובשנות ה-70 יצרו קליפים לטלוויזיה, כמו זה של דיוויד בואי, עם קליידוסקופ ברקע של מסך כחול:
https://youtu.be/Vy-rvsHsi1o
איך מדפיסים עיתונים?
זה די פשוט.. הכתבים כותבים, העורך בוחר את הכתבות והתמונות הטובות ומחליט כיצד יסודר העיתון ומה ישאר מחוץ לגליון. מומחי לשון שנקראים מגיהים עוברים על הכתבות ומתקנים את שגיאות הכתיב והניסוח שבהן. עתה יושבים האנשים שעורכים את העיתון מבחינה גרפית ומעמדים את עמודי העיתון על מסך המחשב.
העיתון יוצא לדפוס, מכינים תבניות פלסטיק של כל דף בעיתון והן מוכנסות למכונות הדפוס הגדולות שידפיסו את גליונות העיתון בצבעים. גלגלי ענק של נייר מאפשרים הדפסה של עיתונים גדולים. אחרי ההדפסה יוצאים העיתונים לסגירה, הוספת הסיכות לגליונות ואריזה. משם הם יוצאים לאולם ההעמסה, כדי לשלוח אותם אל החנויות ולמנויים.
הנה התהליך המלא של יצירת העיתון היומי:
https://youtu.be/G7zYpvtRAlE
כך מכינים את העיתון היומי:
http://youtu.be/NhjSZE0SLTM?t=34s
ושיר על אנשים מגולגלים בתוך נייר עיתון (עברית):
https://youtu.be/Vev_L4_5_lE
מהן ערבסקות וכיצד הן נוצרו?
האמונה האיסלאמית אוסרת על ציור דיוקנאות, פורטרטים של בני אדם. לכן נמנעו האמנים ומאמיני האיסלאם לעטר את המסגדים שלהם בתמונות וציורים אנושיים. הדבר הוביל למסורת של עיטור שמתבסס על תבניות חוזרות. בעיטור הזה השתמשו ומשתמשים עד היום אמני האיסלאם. העיטור המגולף הזה נקרא "ערבסקה" (Arabesque). הוא נפוץ בעיטור מבני ציבור דתיים, בתי קודש וכתבי קודש מוסלמיים.
הערבסקות הן צורות או מוטיבים עיטוריים מופשטים שהאמנות המוסלמית מרבה להשתמש בהם. הן נולדו כשהאמנים המוסלמים יצרו עם הזמן משטחים מעוטרים בקווים ובצורות שיוצרים דגמים החוזרים על עצמם. הערבסקות כללו בדרך כלל עיטורים חוזרים כמו עלים, גבעולים שזורים ותבניות גאומטריות שונות.
יש חוקרי תולדות האמנות שרואים בערבסקה המוסלמית שילוב של מסתורין ורוחניות. אחרים רואים בה פשוט אסתטיקה שנולדה מתוך האילוץ שיצר האיסור הדתי.
מקורות ההשראה של הערבסקות לא ברורים לחלוטין. צורות הערבסקה משתמשות במרכיבים מעולם הצומח, כמו שריגים וצורות עלים. על שימוש מופשט במרכיבים כאלה אין איסור דתי. גם טקסטים מהקוראן, הספר הקדוש למוסלמים, משמשים לאמני הערבסקה, השוזרים אותם ויוצרים דגמים מופשטים שהדת מתירה להם ליצור.
הערבסקות היו לצורה הנפוצה והשכיחה באמנות המוסלמית ואמני הגילוף של ערבסקות היו מבוקשים מאד. גם הקליגרפיה המוסלמית הושפעה והשפיעה על אמנות הערבסק. במאה ה-20 הושפעה מהן האמנות המודרנית והרבתה להשתמש בערבסקות המופשטות בתחומי האמנות השונים. הערבסקה האקזוטית מהמזרח מצאה את דרכה לאמנות הציור של ציירים מודרניים כמו אנרי מאטיס, למחול, למוסיקה ולאדריכלות העולמית המודרנית שחיפשה צורות מופשטות בתרבויות העולם ולעיטור רהיטים, במיוחד בזרם האר-נובו.
זוהי הערבסקה באמנות האסלאם ותפקידה המרכזי כל כך באדריכלות ובאמנות הזו (עברית):
https://youtu.be/0NGGDXBanhs
הנה הערבסקות המצוירות:
http://youtu.be/z-NFKNd6VNg
ערבסקות יפהפיות בסרטון של אמנות איסלמית:
https://youtu.be/yGp29FIirI8
פעמים רבות מדובר בגאומטריה או בעיטור בודד החוזר על עצמו (מתורגם):
http://youtu.be/pg1NpMmPv48
ערבסקות בתקרה של מסגד:
http://youtu.be/BPwJDnHggps
ערבסקה בכיתוב על מבנים איסלמיים:
http://youtu.be/yGp29FIirI8
אמנות הערבסקה תרמה רבות לקליגרפיה האיסלאמית:
http://youtu.be/DO9I6TAzkPI
גילוף ערבסקות:
http://youtu.be/J7Rxbu4FY4Q
איך נולדה האמנות האיסלאמית?
האמנות האיסלאמית (Islamic art) היא אמנות חזותית, הכוללת עיטורים, אדריכלות וקליגרפיה, שהתפתחו והפכו למרכיב חשוב באימפריה המוסלמית ובארצות והמדינות שנולדו ממנה.
ישנם שני מאפיינים שבולטים במיוחד באמנות המוסלמית. הראשון שבהם הוא השימוש בקליגרפיה של הכתב הערבי לעיטורים שונים.
בשל מגבלות ההלכה המוסלמית, הנקראת "השריעה" והאיסור החמור על דמויות של בני אדם בציור או בפיסול, הקליגרפיה הפכה מרכזית באמנות המוסלמית. האיסור הזה, שהאיסלאם ירש מהיהדות, בה יש איסור של "לא תעשה לך פסל וכל תמונה". אבל הוא קיים או התקיים כמעט בכל דת בשלב כלשהו בהיסטוריה שלה. במחקר התופעה הזו מכונה "אנאייקוניזם".
את תוצאות האיסור הזה ניתן לראות היטב במסגדים המוסלמיים המקושטים ברישומי קליגרפיה רבים ובערבסקות. כל אלה הפכו מרכזיים באמנות האסלאמית ומעבירים את הרעיון שאת מעשי האל לא ניתן לתפוס.
עובדה זו באה לידי ביטוי גם בפיתוח של אדריכלות ייחודית לבנייה של מסגדים ובתי מדרש מוסלמיים, המכונים "מדרסות".
את התפיסה מגלמים כתביו של הפילוסוף המוסלמי אבו אל-חזן, שחי בקהיר במאה ה-10. הוא כתב שהיופי נמצא בכל מקום ותולה אותו באופן בו רואים את הדברים, בדברים עצמם ובכל חפץ קיים.
לדבריו, בעצמים המאירים, בשמש והכוכבים, בכתב הערבי על הפיתולים שבו והחזרה הריתמית ובעיטורים שבכתב הזה ובערבסקות הנפוצות בתרבות והאמנות המוסלמית - בכל אלה יש יופי.
האור עצמו, כותב אבו אל-חזן, הוא יופי. גם הצבע הוא יופי והדמיון יוצר יופי. אפשר, הוא כותב, להעתיק את התהליך לאמנות ולהסביר לפיו את היפה באמנות המופשטת - היופי שבמשטח חלק, יופי בלתי פיגורטיבי, שניתן למצוא בכיפות המסגדים המבריקות שהאיסלאם הקים בכל ארץ שכבש, בפיתוחי שיש ועץ ועוד. אל חזן הטעים שהאמן המוסלמי לא מרגיש צורך לתאר דמות אדם ביצירתו ואם כבר אז יעדיף לתאר אותה בצורה מופשטת.
עוד על כך קראו בתגית "קליגרפיה, איסלאם".
הנה אמנות האיסלאם עם העיטורים הגאומטריים והעיטורים החוזרים במקום דמויות (מתורגם):
http://youtu.be/pg1NpMmPv48
על הקשר ההיסטורי שבין דת ואמנות (עברית):
https://youtu.be/qfITRYcnP84
ערבסקות יפהפיות בסרטון של אמנות איסלמית:
https://youtu.be/yGp29FIirI8
ותכנית טלוויזיה על אמנות איסלאמית (עברית):
https://youtu.be/afDg86ILFwY?long=yes
מגדלי האנוי הם שם של חידה מפורסמת שהומצאה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס בשנת 1883. ב"מגדלי הנוי" נתון מגדל עם דיסקיות שהיקפן הולך ונעשה קטן ככל שהן עליונות (הרחבות למטה). מטרת החידה היא להעביר את כל המגדל בשלמותו לאחד משני העמודים הריקים שלידו. כמובן שיש להעביר את הדיסקיות במה שפחות צעדים וכמה שיותר מהר.
החידה משמשת ללימוד מתמטיקה ומדעי המחשב ולהמחשת מושגים כמו רקורסיה (ראו באאוריקה בתגית "רקורסיה"). עוד פרט מעניין - אם נסמן בנקודה כל מצב חוקי במשחק מגדלי האנוי, ונקשר בקווים את המצבים שבהם אפשר לעבור מאחד לשני, נקבל למול עינינו את גרף המשחק, בצורה של הפרקטל המוכר כ"משולש שרפינסקי".
אגב, לוקאס המציא גם אגדה שמדובר במקדש בראהמי שבו הכהנים מעבירים מגדל בן 64 דיסקיות. על פי האגדה שלו, כשיסיימו הכהנים את עבודתם, יגיע גם סוף העולם..
ישנם כללים להעברה:
א. בכל שלב תעבור רק דיסקית אחת מקום.
ב. אסור שיהיה מצב שדיסקית תהיה מונחת על דיסקית קטנה יותר.
הנה דרך לפתרון של חידת מגדלי האנוי:
http://youtu.be/BMkOBNZHcIs
משולש שרפינסקי, שנקרא גם ספוג שרפינסקי או משולש סירפינסקי, הוא אחד הפרקטלים המפורסמים. את ההיכרות עימו עשו המתמטיקאים בשנת 1915. המשולש קיבל את שמו מהמתמטיקאי הפולני שתיאר אותו לראשונה, ואצלב שרפינסקי.
משולש שרפינסקי הוא דוגמה מצוינת ופשוטה במיוחד לפרקטל, צורה שמורכבת מעותקים מוקטנים של עצמה, עד אינסוף. הוא בנוי משלושה עותקים שלו שהוקטנו בחצי שוב ושוב.
הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר, להדגמת הרקורסיה הפשוטה:
http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s
סרט אפל מתורגם ומדהים על הפרקטלים ומשולש שרפינסקי בתוכם (מתורגם):
https://youtu.be/0C75vRVL5lE
סרטון בגרפיקת מחשב של "משולש סירפינסקי" שנבנה ברקורסיה בתלת-מימד:
http://youtu.be/P5EkdJRtF-4
משולש שרפינסקי מסוכריות של החג הנוצרי המעט מפחיד "ליל כל הקדושים":
http://youtu.be/z8ZWlUamNPI
וכך יוצרים פרקטלים כמו משולש סרפינסקי:
http://youtu.be/XwWyTts06tU?t=1m22s
הפרקטל הוא צורה שככל שנביט בה קרוב יותר, נראה את אותה הצורה חוזרת על עצמה בכל קנה מידה. זוהי צורה גאומטרית שמורכבת פנימה, שוב ושוב, מעותקים של עצמה, מוקטנים יותר ויותר. ככל שנתבונן לתוך חלקי הפרקטל, נראה שם תמיד חלקים הדומים לו, כך שכל פרט זעיר בצורה, דומה לצורה המקורית והגדולה ביותר.
בגרפיקה ממוחשבת עושים המון שימוש בפרקטלים. הסיבה היא שנוסחאות מתמטיות קלות יחסית מאפשרות ליצור הרים ומרקמים מורכבים ליצירה בצורה אחרת. גם בפיזיקה משתמשים בפרקטלים למחקרים על תורת הכאוס וכדומה.
בטבע אפשר לראות מבנים שונים שדומים לפרקטלים. מבנים בטבע כמו צורת הכרובית, מבנה העורקים של העלה, התפצלות כלי הדם בגוף, פתית שלג או צורת קו חוף (במיוחד של הפיורדים בנורווגיה) - כל אלה מזכירים מאד את הפרקטלים ומראים שבטבע יש שיטה גם בדברים שאינם מובנים בצורה מתמטית.
הנה סרטון הסבר למושג הפרקטל (מתורגם):
http://youtu.be/Tm0U2VxFd8Q
הסבר מילולי על הפרקטלים - מהתבניות היותר מעניינות שבטבע (עברית):
http://youtu.be/ofA2tBvcbhw?t=3m38s
המתמטיקה של הפרקטלים בסרטון מקסים לפי ז'אנר הסרט האפל (מתורגם):
https://youtu.be/0C75vRVL5lE
הפרקטלים שבטבע:
https://youtu.be/XwWyTts06tU
עוד פרקטלים בטבע:
https://youtu.be/dZM45mfJQ40
להדגמת הרקורסיה הפשוטה, הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר:
http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s
ופרקטל מתמטי ללא סוף, בגרפיקה ממוחשבת ואנימציה מוסיקה נהדרים:
https://youtu.be/hRrBnI5L0u8?long=yes
הצופן התנכ"י, או הקוד התנכ"י, הם כינויים לשיטה שמאמינה שניתן לראות סימנים בתנ"ך לאירועים היסטוריים שיקרו. מאמיני השיטה גורסים שעל ידי קריאה של התנ"ך בדילוגי אותיות, ניתן למצוא נבואות לדברים שיקרו בעתיד. הכינוי של הצופן התנכ"י, בא מספר בשם זה שבו הציג הכותב מייקל דרוזנין את השיטה.
השיטה של קריאת התנ"ך בדילוג של כמה אותיות, במרווח קבוע, מאפשרת למצוא כל צירוף שמחפשים. אם נחפש למשל את הצירוף 'שלום עם לבנון' בדילוגים של מספר קבוע של אותיות, נוכל למצוא אותו כמעט בביטחון מוחלט. כך לדוגמה, יתכן שתופיע בפסוק כלשהו בתנ"ך האות ש', שבע אותיות אחריה תופיע האות ל', שבע אחריה האות ו', עוד שבע אותיות מ' וכן הלאה. ואם לא בדילוגים של 7 אותיות אז 3, 4, 5, 6, 8, וכן הלאה...
טכנולוגיות המחשוב המודרני מאפשרות יכולות פענוח מדהימות, שנועדו לפענוח צפנים ומיושמות כאן בדרך מקורית ואף אידאולוגית. כי אם יש צפנים נסתרים ונבואות בכתבי הקודש, הרי שיש בכך חיזוק לאמונה ולדת. ואכן, ברעיון הקוד התנ"כי משתמשים בין השאר מחזירים בתשובה ביהדות, שמוכיחים בעזרתו את החכמה האלוהית שבתנ"ך. מיסיונרים נוצרים, מצידם מייחסים את התבונה הזו למסרים סודיים שהעביר ישו למאמינים. בצעירותו עסק בחקר השיטה גם גדול המדע אייזק ניוטון.
גם המדע חקר את הדברים. ההנחה הראשונית הייתה שיש בסך הכל סטטיסטיקה של טקסטים גדולים, שבהם ניתן למצוא כל צירוף שמחפשים. בעוד שחוקרים מסוימים מצאו שסטטיסטיקה רגילה לא יכולה להסביר את הממצאים המדהימים שמצאו בספר "בראשית", מצאו חוקרים אחרים שגם בספרים עבי-כרס אחרים, כמו "מלחמה ושלום" של טולסטוי (או "הארי פוטר"), יש ריכוז דומה של ממצאים. ועדת חוקרים בכירה שמינתה האוניברסיטה העברית בירושלים, בראשות חתן פרס נובל ישראל אומן וחתן פרס ישראל הלל פורסטנברג, מצאה שאין בסיס מדעי לשיטה ופסלה סופית את האפשרות שמידע מוצפן על העתיד חבוי בין פרקי התורה והתנ"ך בכלל.
כך מוצג הקוד התנכ"י על ידי המאמינים שהוא מנבא את העתיד לקרות (עברית):
http://youtu.be/NcL7nG9rvvs
הסבר נגדי על הצופן התנכ"י (מתורגם):
http://youtu.be/OGxxWE7msH8
תיאוריית ראמזי שמצמיחה חלק גדול מתיאוריות הקונספירציה הללו (מתורגם):
https://youtu.be/88_C-fogY40
כך יכול למשל הצופן התנכ"י ניבא את רצח ראש הממשלה יצחק רבין ואז מראה כיצד ניתן לראות שם בעתיד את רצח המרצה (עברית):
http://youtu.be/H9anECrH_38
ודעתו של זוכה פרס נובל על הקוד התנכ"י (עברית):
http://youtu.be/IN7n4PEJ5CY?long=yes
תבניות
ודאי היכרתם או קראתם באאוריקה על הפרקטלים, אותן צורות מתמטיות מיוחדות שהתגלו על ידי חוקר הפרקטלים בנואה מנדלברוט והעסיקו חוקרים רבים מתחילת המאה ה-20.
את הפרקטלים ניתן לזהות בכך שיש להם דמיון עצמי. כלומר, כל חלק בהם דומה לדבר השלם. גם בטבע ישנם לא מעט דברים שאם נביט בחלק קטן מהם נגלה את אותה צורה של השלם - בקנה מידה קטן. וגם בחלק הקטן הזה, אם נביט בעזרת זכוכית מגדלת, נוכל לראות שחלקיו שלו דומים גם הם לשלם וחלק הזה וכך זה יכול להמשיך עוד ועוד פנימה. תמיד אותה צורה ושמה...
אז אומרים לכם שכל כך הרבה פרקטלים יש בטבע ואפשר לראותם כמעט בכל מקום. אבל איפה זה בדיוק בכל מקום?
ובכן, בכרובית, בברקים, בריאות, שרכים, מפלים, בפתיתי שלג, בנימי העלה, בענפי העצים, גבישי הקרח, בענני קומולוס, בכלי הדם שלנו, בבועות סבון, בחופי ים מפורצים של פיורדים נורווגיים או בחופי אגמים כמו אגם נאצר שבמצרים, בשוניות אלמוגים במעמקי הים ועד לגלקסיות הענקיות שבחלל.
כן. בטבע נוכל למצוא צורות רבות שיש להן תכונות פרקטליות. דוגמה מפורטת היא לצלם את אורכו של חוף ים ממטוס ולראות שצורתו דומה מאד לזו שנראה בטיול לאורך החוף, כשנביט בפרטים הקטנים שלו. גם מדידת אורכו של קו החוף תגלה לנו דבר מדהים - אורכו הוא בפשטות אינסופי. זה קורה משום שקנה המידה משפיע על המדידה. אם נחשב אורך חוף מתמונת לוויין נקבל אורך קטן בהרבה מזה שיתקבל אם נמדוד את הדרך שעושה נמלה ההולכת לאורכו. הסיבה היא שהשיפולים והשיפועים שחווה הנמלה בקו החוף מאריכים לה את הדרך בטירוף. זה סוג של פרקטל - הנמלה רואה את צורת קו החוף, שהיא זהה לצורה שמצלם הלווים מהחלל.
פרקטלית היא גם הכרובית למשל. אם נחתוך אותה לאורך, נראה שיש בה התפצלויות שיוצרות המון כרוביות קטנות, שבעצמן מתפצלות כל אחת לכרוביות זעירות, שבכל אחת יש כרוביות מיקרוסקופיות והלאה.
בצורה דומה מתפצלות הריאות שלנו או כלי הדם שבגופנו. אבל אתם לא יכולים להביט אל תוך הלב, אז קחו עלה של עץ או שיח ושימו לב לנימים של העלה. נכון שהם מסתעפים ומתפצלים עוד ועוד, כשמכל נים יוצאים נימים קטנים, שמהם יוצאים נימים זעירים וכך הלאה? - גם בכלי הדם שבגופנו יוצאים כך עשרות כלי דם קטנים מכל אחד, בתבנית החוזרת על עצמה שוב ושוב, עד לנימים זעירים ודקיקים במיוחד.
הנה הסבר הפרקטלים שבטבע:
https://youtu.be/Tm0U2VxFd8Q
שלל פרקטלים טבעיים:
https://youtu.be/4IRLvYOZD8A
עוד פרקטלים בטבע:
https://youtu.be/XwWyTts06tU
ואובייקטים טבעיים שהם פרקטלים:
https://youtu.be/dZM45mfJQ40
את הקליידוסקופ (Kaleidoscope) המציא סר דייוויד ברוסטר ב-1816. הקליידוסקופ היה אז מכשיר אופטי, שבעזרתו המחישו צורות סימטריות שונות. כיום משתמשים בו בעיקר לשעשוע. הוא מבוסס על צורות סימטריות בשלל צבעים, כשכל סיבוב של הגליל מציג תבנית חדשה מתוך מגוון של צבעים ותבניות, שמשתנה כשמסובבים את הקליידוסקופ.
הקליידוסקופ בנוי כצורת גליל שיש בו מראות. במראות הללו משתקפים עצמים שונים, כמו שברי זכוכית צבעוניים שלרוב מוכנסים לתוכו. כשמביטים פנימה דרך חור בקצה הגליל, והאור נכנס מהקצה השני, ההשתקפויות המשתנות של שברי הזכוכית הללו יוצרות תמונות סימטריות ומהממות ביופיין. התמונות שנוצרו יוצרות לא פעם תבניות חוזרות ומרתקות, שההשתקפויות מכפילות להמון צדדים ויוצרות להן עומק וממדים מרהיבים.
המילה הקליידוסקופ לקוחה מהשפה היוונית ופירושה "צופה בתמונה יפה".
זה מה שרואים בקליידוסקופ:
http://youtu.be/peZ-MjD9pgk
קבלו צורות קליידוסקופיות:
http://youtu.be/9GMtj_-3BOc
קליידוסקופ מראות הופך הכל לקסום:
http://youtu.be/zCFdLrXI3yM
כך יוצרים קליידוסקופ בעצמכם (עברית):
https://youtu.be/LUawR882X4M
מדריך לבניית קליידוסקופ באנגלית:
https://youtu.be/Z2TDK_OQWU0
אפשר גם לראות אחד שבנוי אחרת לגמרי:
https://youtu.be/6_8omObsfgM
ובשנות ה-70 יצרו קליפים לטלוויזיה, כמו זה של דיוויד בואי, עם קליידוסקופ ברקע של מסך כחול:
https://youtu.be/Vy-rvsHsi1o
זה די פשוט.. הכתבים כותבים, העורך בוחר את הכתבות והתמונות הטובות ומחליט כיצד יסודר העיתון ומה ישאר מחוץ לגליון. מומחי לשון שנקראים מגיהים עוברים על הכתבות ומתקנים את שגיאות הכתיב והניסוח שבהן. עתה יושבים האנשים שעורכים את העיתון מבחינה גרפית ומעמדים את עמודי העיתון על מסך המחשב.
העיתון יוצא לדפוס, מכינים תבניות פלסטיק של כל דף בעיתון והן מוכנסות למכונות הדפוס הגדולות שידפיסו את גליונות העיתון בצבעים. גלגלי ענק של נייר מאפשרים הדפסה של עיתונים גדולים. אחרי ההדפסה יוצאים העיתונים לסגירה, הוספת הסיכות לגליונות ואריזה. משם הם יוצאים לאולם ההעמסה, כדי לשלוח אותם אל החנויות ולמנויים.
הנה התהליך המלא של יצירת העיתון היומי:
https://youtu.be/G7zYpvtRAlE
כך מכינים את העיתון היומי:
http://youtu.be/NhjSZE0SLTM?t=34s
ושיר על אנשים מגולגלים בתוך נייר עיתון (עברית):
https://youtu.be/Vev_L4_5_lE
האמונה האיסלאמית אוסרת על ציור דיוקנאות, פורטרטים של בני אדם. לכן נמנעו האמנים ומאמיני האיסלאם לעטר את המסגדים שלהם בתמונות וציורים אנושיים. הדבר הוביל למסורת של עיטור שמתבסס על תבניות חוזרות. בעיטור הזה השתמשו ומשתמשים עד היום אמני האיסלאם. העיטור המגולף הזה נקרא "ערבסקה" (Arabesque). הוא נפוץ בעיטור מבני ציבור דתיים, בתי קודש וכתבי קודש מוסלמיים.
הערבסקות הן צורות או מוטיבים עיטוריים מופשטים שהאמנות המוסלמית מרבה להשתמש בהם. הן נולדו כשהאמנים המוסלמים יצרו עם הזמן משטחים מעוטרים בקווים ובצורות שיוצרים דגמים החוזרים על עצמם. הערבסקות כללו בדרך כלל עיטורים חוזרים כמו עלים, גבעולים שזורים ותבניות גאומטריות שונות.
יש חוקרי תולדות האמנות שרואים בערבסקה המוסלמית שילוב של מסתורין ורוחניות. אחרים רואים בה פשוט אסתטיקה שנולדה מתוך האילוץ שיצר האיסור הדתי.
מקורות ההשראה של הערבסקות לא ברורים לחלוטין. צורות הערבסקה משתמשות במרכיבים מעולם הצומח, כמו שריגים וצורות עלים. על שימוש מופשט במרכיבים כאלה אין איסור דתי. גם טקסטים מהקוראן, הספר הקדוש למוסלמים, משמשים לאמני הערבסקה, השוזרים אותם ויוצרים דגמים מופשטים שהדת מתירה להם ליצור.
הערבסקות היו לצורה הנפוצה והשכיחה באמנות המוסלמית ואמני הגילוף של ערבסקות היו מבוקשים מאד. גם הקליגרפיה המוסלמית הושפעה והשפיעה על אמנות הערבסק. במאה ה-20 הושפעה מהן האמנות המודרנית והרבתה להשתמש בערבסקות המופשטות בתחומי האמנות השונים. הערבסקה האקזוטית מהמזרח מצאה את דרכה לאמנות הציור של ציירים מודרניים כמו אנרי מאטיס, למחול, למוסיקה ולאדריכלות העולמית המודרנית שחיפשה צורות מופשטות בתרבויות העולם ולעיטור רהיטים, במיוחד בזרם האר-נובו.
זוהי הערבסקה באמנות האסלאם ותפקידה המרכזי כל כך באדריכלות ובאמנות הזו (עברית):
https://youtu.be/0NGGDXBanhs
הנה הערבסקות המצוירות:
http://youtu.be/z-NFKNd6VNg
ערבסקות יפהפיות בסרטון של אמנות איסלמית:
https://youtu.be/yGp29FIirI8
פעמים רבות מדובר בגאומטריה או בעיטור בודד החוזר על עצמו (מתורגם):
http://youtu.be/pg1NpMmPv48
ערבסקות בתקרה של מסגד:
http://youtu.be/BPwJDnHggps
ערבסקה בכיתוב על מבנים איסלמיים:
http://youtu.be/yGp29FIirI8
אמנות הערבסקה תרמה רבות לקליגרפיה האיסלאמית:
http://youtu.be/DO9I6TAzkPI
גילוף ערבסקות:
http://youtu.be/J7Rxbu4FY4Q
האמנות האיסלאמית (Islamic art) היא אמנות חזותית, הכוללת עיטורים, אדריכלות וקליגרפיה, שהתפתחו והפכו למרכיב חשוב באימפריה המוסלמית ובארצות והמדינות שנולדו ממנה.
ישנם שני מאפיינים שבולטים במיוחד באמנות המוסלמית. הראשון שבהם הוא השימוש בקליגרפיה של הכתב הערבי לעיטורים שונים.
בשל מגבלות ההלכה המוסלמית, הנקראת "השריעה" והאיסור החמור על דמויות של בני אדם בציור או בפיסול, הקליגרפיה הפכה מרכזית באמנות המוסלמית. האיסור הזה, שהאיסלאם ירש מהיהדות, בה יש איסור של "לא תעשה לך פסל וכל תמונה". אבל הוא קיים או התקיים כמעט בכל דת בשלב כלשהו בהיסטוריה שלה. במחקר התופעה הזו מכונה "אנאייקוניזם".
את תוצאות האיסור הזה ניתן לראות היטב במסגדים המוסלמיים המקושטים ברישומי קליגרפיה רבים ובערבסקות. כל אלה הפכו מרכזיים באמנות האסלאמית ומעבירים את הרעיון שאת מעשי האל לא ניתן לתפוס.
עובדה זו באה לידי ביטוי גם בפיתוח של אדריכלות ייחודית לבנייה של מסגדים ובתי מדרש מוסלמיים, המכונים "מדרסות".
את התפיסה מגלמים כתביו של הפילוסוף המוסלמי אבו אל-חזן, שחי בקהיר במאה ה-10. הוא כתב שהיופי נמצא בכל מקום ותולה אותו באופן בו רואים את הדברים, בדברים עצמם ובכל חפץ קיים.
לדבריו, בעצמים המאירים, בשמש והכוכבים, בכתב הערבי על הפיתולים שבו והחזרה הריתמית ובעיטורים שבכתב הזה ובערבסקות הנפוצות בתרבות והאמנות המוסלמית - בכל אלה יש יופי.
האור עצמו, כותב אבו אל-חזן, הוא יופי. גם הצבע הוא יופי והדמיון יוצר יופי. אפשר, הוא כותב, להעתיק את התהליך לאמנות ולהסביר לפיו את היפה באמנות המופשטת - היופי שבמשטח חלק, יופי בלתי פיגורטיבי, שניתן למצוא בכיפות המסגדים המבריקות שהאיסלאם הקים בכל ארץ שכבש, בפיתוחי שיש ועץ ועוד. אל חזן הטעים שהאמן המוסלמי לא מרגיש צורך לתאר דמות אדם ביצירתו ואם כבר אז יעדיף לתאר אותה בצורה מופשטת.
עוד על כך קראו בתגית "קליגרפיה, איסלאם".
הנה אמנות האיסלאם עם העיטורים הגאומטריים והעיטורים החוזרים במקום דמויות (מתורגם):
http://youtu.be/pg1NpMmPv48
על הקשר ההיסטורי שבין דת ואמנות (עברית):
https://youtu.be/qfITRYcnP84
ערבסקות יפהפיות בסרטון של אמנות איסלמית:
https://youtu.be/yGp29FIirI8
ותכנית טלוויזיה על אמנות איסלאמית (עברית):
https://youtu.be/afDg86ILFwY?long=yes
למה צייר אֶשֶר דברים בלתי אפשריים?
הצייר ההולנדי מאוריץ קורנליס אֶשֶר (M. C. Escher) היה אמן הולנדי מהזרם הסוריאליסטי, שהתפרסם בעבודות הגרפיות שיצר, בעיקר בטכניקות של הדפסים מאבן, חיתוכי עץ ותחריטי עץ.
על אף שלא היה מתמטיקאי, ביצירותיו של אשר מופיעים פעמים רבות מבנים מדהימים שמבוססים על עקרונות מתמטיים. ביצירותיו הסוריאליסטיות הופיעו שינויי צורה מוזרים ומופלאים, תבניות שחוזרות על עצמן ובהדרגה משתנות, אשליות אופטיות מבלבלות, דברים שלא ייתכנו במציאות וכאלה שסותרים את ההיגיון שלנו. יש בציוריו של אשר יצורים בצד אחד של הדף שהופכים בצד השני ליצורים אחרים, יש ידיים שמציירות את עצמן ועוד ועוד.
וכך, מבלי להיות מתמטיקאי, מלאים ציוריו בהמחשות ויזואליות לרעיונות מתמטיים שונים, כמו רעיון הרקורסיה. הרקורסיה, ההפניה העצמית או דברים שפונים אל עצמם, העסיק מאד גם את המתמטיקאי קורט גדל. על הדמיון והרעיונות הדומים של השניים, ביחד עם שיטות ההלחנה האופייניות של המלחין יוהאן סבסטיאן באך, נכתב אחד הספרים המשפיעים והמעניינים בספרות המדע הפופולארי "גדל, אשר, באך" מאת דאגלס הופשטטר.
הנה סיפורו של הגאון המבריק אם סי אשר (עברית):
https://youtu.be/9a1vwQfj7Uc
סרטון שמציג את הגאונות של אשר:
http://youtu.be/Kcc56fRtrKU
גלריית וידאו של ציוריו המופלאים של אשר:
http://youtu.be/RO1kBTCSIqo
אנימציה המבוססת על יצירתו "עלייה וירידה" והסבר כיצד היא בנויה:
http://youtu.be/Xf9QwQ3JM3Q
שיטה דומה להבין את היצירה "מפל מים" של אשר:
http://youtu.be/Z6OeQtnultc
הסבר על ציוריו המתמטיים:
http://youtu.be/t-Gcz9FIB4w
סרט ארוך על אשר ויצירתו:
http://youtu.be/zCbS6D-y0do?long=yes
על חייו והקריירה של אשר:
http://youtu.be/g4VAxilTRGs?long=yes
ומי המקביל המוסיקלי שלו - באך או אולי...
https://youtu.be/N5yF44IlmzU?long=yes
הצייר ההולנדי מאוריץ קורנליס אֶשֶר (M. C. Escher) היה אמן הולנדי מהזרם הסוריאליסטי, שהתפרסם בעבודות הגרפיות שיצר, בעיקר בטכניקות של הדפסים מאבן, חיתוכי עץ ותחריטי עץ.
על אף שלא היה מתמטיקאי, ביצירותיו של אשר מופיעים פעמים רבות מבנים מדהימים שמבוססים על עקרונות מתמטיים. ביצירותיו הסוריאליסטיות הופיעו שינויי צורה מוזרים ומופלאים, תבניות שחוזרות על עצמן ובהדרגה משתנות, אשליות אופטיות מבלבלות, דברים שלא ייתכנו במציאות וכאלה שסותרים את ההיגיון שלנו. יש בציוריו של אשר יצורים בצד אחד של הדף שהופכים בצד השני ליצורים אחרים, יש ידיים שמציירות את עצמן ועוד ועוד.
וכך, מבלי להיות מתמטיקאי, מלאים ציוריו בהמחשות ויזואליות לרעיונות מתמטיים שונים, כמו רעיון הרקורסיה. הרקורסיה, ההפניה העצמית או דברים שפונים אל עצמם, העסיק מאד גם את המתמטיקאי קורט גדל. על הדמיון והרעיונות הדומים של השניים, ביחד עם שיטות ההלחנה האופייניות של המלחין יוהאן סבסטיאן באך, נכתב אחד הספרים המשפיעים והמעניינים בספרות המדע הפופולארי "גדל, אשר, באך" מאת דאגלס הופשטטר.
הנה סיפורו של הגאון המבריק אם סי אשר (עברית):
https://youtu.be/9a1vwQfj7Uc
סרטון שמציג את הגאונות של אשר:
http://youtu.be/Kcc56fRtrKU
גלריית וידאו של ציוריו המופלאים של אשר:
http://youtu.be/RO1kBTCSIqo
אנימציה המבוססת על יצירתו "עלייה וירידה" והסבר כיצד היא בנויה:
http://youtu.be/Xf9QwQ3JM3Q
שיטה דומה להבין את היצירה "מפל מים" של אשר:
http://youtu.be/Z6OeQtnultc
הסבר על ציוריו המתמטיים:
http://youtu.be/t-Gcz9FIB4w
סרט ארוך על אשר ויצירתו:
http://youtu.be/zCbS6D-y0do?long=yes
על חייו והקריירה של אשר:
http://youtu.be/g4VAxilTRGs?long=yes
ומי המקביל המוסיקלי שלו - באך או אולי...
https://youtu.be/N5yF44IlmzU?long=yes
