שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.
»
«
מהם פרקטלים?
הפרקטל הוא צורה שככל שנביט בה קרוב יותר, נראה את אותה הצורה חוזרת על עצמה בכל קנה מידה. זוהי צורה גאומטרית שמורכבת פנימה, שוב ושוב, מעותקים של עצמה, מוקטנים יותר ויותר. ככל שנתבונן לתוך חלקי הפרקטל, נראה שם תמיד חלקים הדומים לו, כך שכל פרט זעיר בצורה, דומה לצורה המקורית והגדולה ביותר.
בגרפיקה ממוחשבת עושים המון שימוש בפרקטלים. הסיבה היא שנוסחאות מתמטיות קלות יחסית מאפשרות ליצור הרים ומרקמים מורכבים ליצירה בצורה אחרת. גם בפיזיקה משתמשים בפרקטלים למחקרים על תורת הכאוס וכדומה.
בטבע אפשר לראות מבנים שונים שדומים לפרקטלים. מבנים בטבע כמו צורת הכרובית, מבנה העורקים של העלה, התפצלות כלי הדם בגוף, פתית שלג או צורת קו חוף (במיוחד של הפיורדים בנורווגיה) - כל אלה מזכירים מאד את הפרקטלים ומראים שבטבע יש שיטה גם בדברים שאינם מובנים בצורה מתמטית.
הנה סרטון הסבר למושג הפרקטל (מתורגם):
http://youtu.be/Tm0U2VxFd8Q
הסבר מילולי על הפרקטלים - מהתבניות היותר מעניינות שבטבע (עברית):
http://youtu.be/ofA2tBvcbhw?t=3m38s
המתמטיקה של הפרקטלים בסרטון מקסים לפי ז'אנר הסרט האפל (מתורגם):
https://youtu.be/0C75vRVL5lE
הפרקטלים שבטבע:
https://youtu.be/XwWyTts06tU
עוד פרקטלים בטבע:
https://youtu.be/dZM45mfJQ40
להדגמת הרקורסיה הפשוטה, הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר:
http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s
ופרקטל מתמטי ללא סוף, בגרפיקה ממוחשבת ואנימציה מוסיקה נהדרים:
https://youtu.be/hRrBnI5L0u8?long=yes
איפה יש פרקטלים בטבע?
ודאי היכרתם או קראתם באאוריקה על הפרקטלים, אותן צורות מתמטיות מיוחדות שהתגלו על ידי חוקר הפרקטלים בנואה מנדלברוט והעסיקו חוקרים רבים מתחילת המאה ה-20.
את הפרקטלים ניתן לזהות בכך שיש להם דמיון עצמי. כלומר, כל חלק בהם דומה לדבר השלם. גם בטבע ישנם לא מעט דברים שאם נביט בחלק קטן מהם נגלה את אותה צורה של השלם - בקנה מידה קטן. וגם בחלק הקטן הזה, אם נביט בעזרת זכוכית מגדלת, נוכל לראות שחלקיו שלו דומים גם הם לשלם וחלק הזה וכך זה יכול להמשיך עוד ועוד פנימה. תמיד אותה צורה ושמה...
אז אומרים לכם שכל כך הרבה פרקטלים יש בטבע ואפשר לראותם כמעט בכל מקום. אבל איפה זה בדיוק בכל מקום?
ובכן, בכרובית, בברקים, בריאות, שרכים, מפלים, בפתיתי שלג, בנימי העלה, בענפי העצים, גבישי הקרח, בענני קומולוס, בכלי הדם שלנו, בבועות סבון, בחופי ים מפורצים של פיורדים נורווגיים או בחופי אגמים כמו אגם נאצר שבמצרים, בשוניות אלמוגים במעמקי הים ועד לגלקסיות הענקיות שבחלל.
כן. בטבע נוכל למצוא צורות רבות שיש להן תכונות פרקטליות. דוגמה מפורטת היא לצלם את אורכו של חוף ים ממטוס ולראות שצורתו דומה מאד לזו שנראה בטיול לאורך החוף, כשנביט בפרטים הקטנים שלו. גם מדידת אורכו של קו החוף תגלה לנו דבר מדהים - אורכו הוא בפשטות אינסופי. זה קורה משום שקנה המידה משפיע על המדידה. אם נחשב אורך חוף מתמונת לוויין נקבל אורך קטן בהרבה מזה שיתקבל אם נמדוד את הדרך שעושה נמלה ההולכת לאורכו. הסיבה היא שהשיפולים והשיפועים שחווה הנמלה בקו החוף מאריכים לה את הדרך בטירוף. זה סוג של פרקטל - הנמלה רואה את צורת קו החוף, שהיא זהה לצורה שמצלם הלווים מהחלל.
פרקטלית היא גם הכרובית למשל. אם נחתוך אותה לאורך, נראה שיש בה התפצלויות שיוצרות המון כרוביות קטנות, שבעצמן מתפצלות כל אחת לכרוביות זעירות, שבכל אחת יש כרוביות מיקרוסקופיות והלאה.
בצורה דומה מתפצלות הריאות שלנו או כלי הדם שבגופנו. אבל אתם לא יכולים להביט אל תוך הלב, אז קחו עלה של עץ או שיח ושימו לב לנימים של העלה. נכון שהם מסתעפים ומתפצלים עוד ועוד, כשמכל נים יוצאים נימים קטנים, שמהם יוצאים נימים זעירים וכך הלאה? - גם בכלי הדם שבגופנו יוצאים כך עשרות כלי דם קטנים מכל אחד, בתבנית החוזרת על עצמה שוב ושוב, עד לנימים זעירים ודקיקים במיוחד.
הנה הסבר הפרקטלים שבטבע:
https://youtu.be/Tm0U2VxFd8Q
שלל פרקטלים טבעיים:
https://youtu.be/4IRLvYOZD8A
עוד פרקטלים בטבע:
https://youtu.be/XwWyTts06tU
ואובייקטים טבעיים שהם פרקטלים:
https://youtu.be/dZM45mfJQ40
מהי קבוצת מנדלברוט?
חבורת מנדלברוט, קבוצת מנדלברוט או סט מנדלברוט, הם שמות לצורות שחוזרות על עצמן ללא סוף. אלה צורות עם דמיון עצמי, כלומר כל חלק שלהן דומה לשלם. במילים אחרות, בכל צורה כזו נוכל לראות את הצורה בחלקים השונים שבה וכך שוב ושוב כשנביט אל חלקי החלקים הללו, ככל שנביט פנימה. כשבוחנים פרקטל בזום, או בזכוכית מגדלת, מגלים את אותו הדפוס בקנה מידה קטן וכך זה הולך וקטן לקני מידה הולכים וקטנים, עד אינסוף.
את הצורות המופלאות הללו יצר המתמטיקאי הצרפתי בנואה מנדלברוט, על פי פרקטלים של ג'וליה, מתמטיקאי שקדם לו. המעניין הוא שאלה צורות המערבות סיבוכיות, הרמוניה ויופי, אבל למעשה משתמשות בנוסחה מתמטית פשוטה. משהו כמו Zn = Z + C^2 כשכל מספר ב-C ייתן צורה שונה לחלוטין.
והתגלית המעניינת היא שהצורות הללו נראות כמו הרבה דברים שאנו מכירים מהטבע. בסטים הללו נוצר מגוון אדיר של צורות קסומות, המזכירות איים קסומים ודימיוניים, קישוטים בארוקיים מדומים, עצים מרהיבים, חופים כפי שהן נראים ממעוף הציפור וכדומה. זו הסיבה שכיום עושים בסט מנדלברוט שימוש ביצירת נופים ועולמות מדומים במשחקי מחשב, בעולמות מדומים, בסרטים ובסימולציות שונות.
הנה הפרקטלים שבטבע וכיצד ניתן ליצור אותם בעצמנו:
http://youtu.be/XwWyTts06tU
הבה נתקרב עוד ועוד לפרקטל הכי מוכר מקבוצת מנדלברוט:
http://youtu.be/gEw8xpb1aRA
הסבר על הפרקטלים של מנדלברוט:
http://youtu.be/STSS3_cVauk
ושיר על הסט של מנדלברוט:
http://youtu.be/ES-yKOYaXq0
מהו פרדוקס קו החוף?
האם ניסיתם פעם למדוד אורכו של משהו? - זה לא אמור להיות קשה, נכון?
אבל חופים הם לפעמים בעיה של ממש למודדים.. וזה לא רק לפעמים - חופים הם בעיקרון בעיה למודדים! - הם מדגימים היטב את הרעיון שהמימד הוא לא מוחלט אלא תלוי בסקלה שבה אנו מסתכלים או מודדים.
למה אנו מכוונים?
כשאנו מודדים את אורכו של קו חוף, נגלה תופעה מאד מוזרה - ככל נתקרב לקו החוף, יילך אורכו ויגדל. פרדוקס קו החוף הוא ההבחנה המדעית שאין לנו יכולת למדוד באמת את אורכו של קו חוף. כי ככל שהסרגל שלנו יהיה קטן יותר, ניאלץ נמדוד את החוף מקרוב יותר, הפיתולים שלו יימדדו ויאריכו את האורך הנמדד של קו החוף.
במילים אחרות - קו החוף יילך ויגדל, ככל שנמדוד אותו ביחידות קטנות יותר. למה זה קורה? - כי סרגל הוא ישר ולא ניתן להשתמש בו כדי למדוד פיתולים הקטנים יותר מאורכו. לפיכך, ככל שהסרגל הוא קטן יותר, נוכל למדוד אתו בתוך הפיתולים ואורכו הסופי של החוף יגדל משמעותית.
כמובן שפרדוקס קו החוף לא מדבר רק על חופים, אלא על כל דבר שאינו ישר. נוכל לראות תופעה דומה גם במדידה של אורך העיגול, של פני השטח של אלמוג, של מידות המוח וכדומה.
פרדוקס קו החוף הוא אחת הדוגמאות שהציג במחקריו המתמטיקאי בנואה מנדלברוט. הוא הדגים בעזרתו כיצד יכול השימוש בפרקטלים, אותם יצורים מתמטיים של דמיון עצמי, שמכילים את עצמם, לסייע בתיאור תופעות טבע, במקרה הזה את מבנה קו החוף. קראו עליהם באאוריקה בתגית "פרקטלים".
הנה סרטון הסבר לפרדוקס קו החוף:
https://youtu.be/kFjq8PX6F7I
והבעיה שמוצגת היטב במדידת אורכם של חופי אוסטרליה:
http://youtu.be/I_rw-AJqpCM
מהי רקורסיה?
רקורסיה היא קצת מורכבת להסבר אבל מאד פשוטה להבנה. מגדירים אותה כמיקוד של בעיה כללית אל בעיה "קטנה" יותר, אך זהה לזו המקורית. כך גם הגדרה רקורסיבית היא הגדרה שחייבת לפנות לאותה הגדרה, אבל בתנאים שונים. ותמיד יהיה שם תנאי עצירה, כדי שהרקורסיה לא תהיה אינסופית..
הגדרה אחרת לרקורסיה היא "הגדרת בעיה במונחים של עצמה".
רוצים דוגמה:
"אם הבנת מהי רקורסיה, חזור אל הדף ממנו הגעת. אם לא – קרא בדף זה מהי רקורסיה".
הדוגמה הזו מסבירה בדיוק את הרקורסיה, כי תנאי העצירה הוא "אם הבנת.." ואם לא אז חוזרים לאותה דוגמה כדי ללמוד מהי רקורסיה מחדש ולבסוף מבינים שהרקורסיה היא מה שאתה מתבקש לעשות..
גם מתכנתים משתמשים ברקורסיה והם מתארים פונקציה רקורסיבית כ"פונקציה שקוראת לעצמה". היא קוראת לעצמה עד שלא ניתן יותר לעשות זאת. נכון היה יותר לומר שפונקציה כזו קוראת לעותק של עצמה.
לרוב נותנים לרקורסיה כזו את הדוגמה של חישוב n-עצרת במתמטיקה (=מכפלת 1 כפול 2 כפול 3… עד כפול n).
ואגב, הנה משפט משעשע ונכון: "כדי להגדיר רקורסיה, קודם-כל צריך להגדיר רקורסיה.."
הנה סרטון שמדגים איך רקורסיה עובדת כשעושים בעזרתה גרפיקה ממוחשבת:
http://youtu.be/ghZKKaZkzrE
כניסה פנימה לפרקטל - צורה גרפית שנקראת "משולש סירפינסקי" שנבנתה בפונקציה רקורסיבית:
http://youtu.be/P5EkdJRtF-4
והסבר למתכנתים (עברית):
https://youtu.be/B19qH3XFnxY?long=yes
מהם הקווים שעל העלים?
על העלים אפשר לראות קווים דקיקים. אלה הם העורקים, שהם מעין צינורות דקים שמגיעים לכל פינה בעלה. ממש כמו שבעורקי האדם עובר דם, שמזין את כל חלקי גופנו, כך עובר המוהל בעורקיו של העלה ומזין אותו.
שימו לב שכמו מערכת הדם של בעלי החיים, עורקי העלים בנויים בצורה של פרקטל. מכל ענף מתפצלים ענפים נוספים וחוזר חלילה. בכל קנה מידה תראו את אותו מבנה של ענף ראשי וממנו ענפי משנה, שמהם עוד ענפים וכך הלאה.
הנה סרטון על עורקי העלה:
http://youtu.be/swLVNljDS64?t=22s
והנה סיפור העץ הנדיב:
http://youtu.be/LxMy8Xa58Fo
מהי הגאומטריה של מנדלברוט?
בנואה מנדלברוט היה מתמטיקאי שמצא שיש צורות רבות שכל חלק שלהן הוא כמו השלם, או מזכיר אותו. מדידה של שטח הפנים של צורות כאלה תלוייה ביכולת שלנו לבחון אותו, מכיוון שככל שנתקרב אל העצם, נגלה חספוס הולך וגובר, שיגדיל את שטח הפנים.
מנדלברוט מצא שכלל מתמטי פשוט, או נוסחה פשוטה, יכולים להגדיר מצוין את העצם שנראה שאין בו חוקיות או היגיון כלשהם.
אגב, בנואה מנדלברוט עצמו מעדיף את המונח "חספוס" ולא אי-יציבות או אי-סדר, מכיוון שהוא רואה סדר בכל דבר ואין בעיניו שום דבר שאין בו סדר מסוים. להוכחה, המילה "פרקטל" שהוא בחר לתיאור של המחוספס והשבור באה מהמילה הלטינית פרקטוס (fractus), שפירושה "שבור".
למשל בכרובית הוא רואה גם תחכום וגם פשטות. אותם קונוסים שאנו רואים בברוקולי, חוזרים גם אם נביט בחלק מקונוס כזה ויחזרו שוב ושוב בכל קנה מידה שנביט בו. כך יהיה גם בעננים, בקווי חוף עם מפרצים בגדלים (מפיורדים עצומים ועד מפרצונים בגוגל מילימטרים), עצים (בהם עורקי העלה נראים כענפים וענפי העץ דומים לעצים) ועוד המון צורות שהן לכאורה אקראיות ולא בנויות בסדר של ממש, אבל כשנביט בחלק מהם נראה בגדלים שונים, תבנית דומה לזו שראינו בעצם המלא.
איך זה מסתדר? - ובכן, בכולם יש מרכיב שניתן למצוא והוא "הדמיון העצמי" (Self similarity), שבו אותה צורה חוזרת שוב ושוב, ככל שנתקרב. ומסתבר שאותה צורה שבה ענפים יוצאים מענפים בעץ, היא גם הצורה של צינורות הדם בגופנו, נימי העלים של העץ, נהרות על פני כדור הארץ וכן הלאה. מסתבר שהטבע עושה שימוש בחוק זהה להמון מקרים שאינם קשורים זה בזה ושכביכול אין בהם שום סדר הגיוני.
ל"דמיון העצמי" מנדלברוט קרא "פרקטל". הוא גם הבין שניתן לעבוד עם הפרקטלים הפוך ולהשתמש בסדרה של חוקים מתמטיים פשוטים, כדי לייצר צורות כאלה. בסוף שנות ה-50 הוא השתמש במחשב כדי לייצר צורות כאלה. הוא עשה מהפכה של ממש בגאומטריה, שכן הוא החל לקרב אותה לעולם הטבע.
אם קודם לפרקטלים לא סייעה הגאומטריה לתאר את הצורות של גורמים בטבע, כמו הרים, עננים, עצים, ירקות וקווי חוף, הרי שהפרקטל, שמסייע למצוא סדר בדפוסים מורכבים ביותר, שינה את זה והראה את הסדר המתמטי שבו מתנהל הטבע והעולם הכאוטי. או במילים שלו כפי שכתב בהקדמת ספרו "עננים הם לא כדורים, הרים אינם בעלי צורה של חרוט, קו החוף לא עשוי ממעגלים, קליפת העץ איננה חלקה והברק אינו מתקדם בקו ישר".
בחייו סבל מנדלברוט לא מעט בשל הפרקטלים. הממסד המתמטי ממש נידה אותו בשל ההתעסקות בתמונות, שלא יאה למתמטיקאי רציני. מי שהצילה אותו מחוסר תעסוקה הייתה חברת IBM, שלא זו בלבד שהעסיקה אותו במרכז המחקר שלה, אלא אף נתנה לו לעשות כרצונו. בעזרת חוק רקורסיבי פשוט מאוד הוא מצליח עתה לייצר תמונות בעלות מורכבות הולכת וגדלה, בה רואים ברמות שונות, כאמור, צורות דומות.
גם הציבור הרחב מתחיל להתחבר לרעיונות שלו, שבניגוד לרעיונות מתמטיים רגילים, קל להבינם. מה עוד שניתן היה לראותם לפתע, בתוצרי מחשב מודפסים. את הצד הגרפי של הפרקטלים ניתן היה גם לחקור וליישם באדריכלות, בעיצוב מוצר ובתעשיות שונות.
וכך זוכה מי שכילד בן 12 הפך לפליט פולני בצרפת ולימד את עצמו מתמטיקה לבדו, הוא זוכה בשלב מסוים בציבור לכינוי "כוכב הרוק של המתמטיקה". כי גם אם רעיונותיו על הפרקטלים עדיין לא מתקבלים אצל הקהילה המדעית, מעל ראשם הוא הופך די מהר לאחד המתמטיקאים המשפיעים בהיסטוריה.
הנה סרטון שמסביר זאת היטב:
http://youtu.be/Dm-zy5f4qIo
הדמיון העצמי של פרקטל:
http://youtu.be/9G6uO7ZHtK8
הסבריו של מנדלברוט עצמו:
http://youtu.be/pDajf3PXpNI
ודוגמאות שונות לסט מנדלברוט, שמערב סיבוכיות, הרמוניה ויופי בשימוש בנוסחאות פשוטות:
http://youtu.be/G_GBwuYuOOs
מה זה לוליין לוגריתמי?
לוליין לוגריתמי, ספירלה לוגריתמית, או ספירלת הזהב, הם שמות של אחת התופעות המרהיבות בטבע. מדובר בצורה גיאומטרית, של קו עקום ומעגלי המתחיל מנקודה כלשהי ומסתחרר בצורה מעגלית כלפי חוץ, כשהרדיוס של המעגל הולך וגדל, כמו חילזון (ספירלה).
צורה זו היא מעין צורה בסיסית של יופי. היא כוללת סימטריה והרמוניה - שתי התכונות שגורמות לבני אדם לזהות דבר יפה, כבר ממבט ראשון. כבר דורות מתואר הלוליין הלוגריתמי בתור "הפרופורציה האלוהית". כזו שיכולה להקנות לדברים שהאדם עושה את תכונות היופי הכי מוכרות, סימטריה והרמוניה.
שתי התוכנות הללו מתמזגות בלוליין הלוגריתמי. בזכותו הופכים הפרחים, למשל, ליפים בעינינו, כמו גם בעיני בעלי חיים. בזכות היופי ההרמוני והסימטריה המושלמת נמשכים אליהם הדבורים, הפרפרים והחרקים ומוצאים בהם מקור למזון וחיים.
השלמות והיופי הללו, של מה שקיבל את השם "יחס הזהב", גלומים בכל פינה בטבע. מפרחים כמו חמנית או ורד, פירות דוגמת אננס, ירקות כמו הכרוב והכרובית, צמחים כמו ברוקולי ואצל בעלי חיים כמו במראה קרני האיילים, פרפרים, שבלולים, קונכיות וחלזונות - כולם מתפתחים כך. גם בתופעות טבע כמו מערבולות מים ואוויר ואפילו גלקסיות עם מיליארדי כוכבים. כל אלה נראים כך. הסיבה היא שהאנרגיה הדרושה לכל אלה היא המינימלית. גדילה כזו של יצורים חיים, או קיומן של תופעות כמו מערבולת או אפילו גלקסיה, תובעות אנרגיה רבה. לכן חסכון טבעי בה הוא הכי טוב.
התופעות הללו משכו את תשומת לב האמנים ומתכנני המבנים, שכן יופיים לא משתנה והם נחשבים יפים בכל תקופה ובכל תרבות שהן. מקרני האיילים שהיו לקורות עמודים רומיים, אזור המפתחות בכלי המיתר ועד ללוליינים לוגריתמיים שהיו לכלי אמנותי בציור ובעיצוב והאדריכלות של מוזיאון גוגנהיים.
בצמחים ופרפרים רבים, גם כשהתכונות הללו לא נראות במבט ראשון, אפשר לדמיין את הצורה הלוליינית ומיד מזהים את ההרמוניה והסימטריה שהעין כה אוהבת.
הנה הספירלה של הלוליין הלוגריתמי שמופיעה בטבע בכל מקום:
https://youtu.be/nt2OlMAJj6o
ספירלת הזהב על פי פיבונאצ'י, היא הלוליין הלוגריתמי:
https://youtu.be/RKdrI9MZXHQ
תיאור של לוליין לוגריתמי בעזרת תוכנה מתמטית:
https://youtu.be/gXU1D2aF8QI
ומצגת וידאו של מרכיבים לולייניים שונים בטבע:
https://youtu.be/Qq7nU62ww0U
מהן גלקסיות לולייניות?
גלקסיית שביל החלב, הגלקסיה שבה נמצא כדור הארץ היא גלקסיה ספירלית, חלזונית. גם הגלקסיה השכנה, גלקסיית אנדרומדה, שייכת לסוג זה. גלקסיות ספירליות, או גלקסיות לולייניות, הן גלקסיות שיש להן צורה לוליינית, דמוית חילזון. במרכז של גלקסיה כזו יש מעין עיגול שטוח בצורת דיסקה ולו זרועות שיוצרות מבנה ספירלי.
הצורה האופיינית לגלקסיות כאלה היא של חילזון והיא מתקבלת מהאופן שבו נעים הכוכבים בגלקסיה, צורת תנועה שהיא אמנם אטית מאוד ונמדדת במשכי זמן של מאות מיליוני שנים, אך בבסיסה היא דומה לתנועה של המים במערבולות מים, לתנועת האוויר בסופות טורנדו או לחול הנע בעמודי חול כמו עלעול.
כמו בחלזונות וביצירות אמנות, מבנים אדריכליים ויצירות מוסיקליות מרתקות, מדהים לגלות שגם בצורתן של גלקסיות כאלה, על מיליארדי הכוכבים שבהן, ניתן לראות את היחס המתמטי המופלא של "חיתוך הזהב" (או "יחס הזהב"). יחס מופלא זה, שמתקבל מחלוקת האורך של מלבן הזהב ברוחב שלו, זכה לשם "הפרופורציה האלוהית". קראו עליו באאוריקה בתגית "יחס הזהב".
ברוב המקרים נמצאות הגלקסיות הספירליות בשולי צבירי גלקסיות ולא במרכזן.
הנה הגלקסיות הלולייניות:
https://youtu.be/5sGKuoBnTn0
תצוגה גרפית של גלקסיית שביל החלב הספירלית:
https://youtu.be/C4V-ooITrws?t=30s
התבוננות בפרטים בצילום של M81 - גלקסיה חלזונית מרוחקת הנמצאת מעל 11 מיליון שנות אור מכדור הארץ:
https://youtu.be/0seVq5ydqzk
הדגמת מחשב של היווצרות גלקסיה לוליינית (במהירות מואצת כמובן, כי במציאות התהליך נמשך מיליוני שנים):
https://youtu.be/LTlSLVbYFso
עוד אחת:
https://youtu.be/hVNuwAtnKeg
והצגה של המבנה הפרקטלי של הגלקסיה החלזונית וכמה שהוא דומה למבנים טבעיים רבים:
https://youtu.be/vGq3x31ex1Y
הפרקטל הוא צורה שככל שנביט בה קרוב יותר, נראה את אותה הצורה חוזרת על עצמה בכל קנה מידה. זוהי צורה גאומטרית שמורכבת פנימה, שוב ושוב, מעותקים של עצמה, מוקטנים יותר ויותר. ככל שנתבונן לתוך חלקי הפרקטל, נראה שם תמיד חלקים הדומים לו, כך שכל פרט זעיר בצורה, דומה לצורה המקורית והגדולה ביותר.
בגרפיקה ממוחשבת עושים המון שימוש בפרקטלים. הסיבה היא שנוסחאות מתמטיות קלות יחסית מאפשרות ליצור הרים ומרקמים מורכבים ליצירה בצורה אחרת. גם בפיזיקה משתמשים בפרקטלים למחקרים על תורת הכאוס וכדומה.
בטבע אפשר לראות מבנים שונים שדומים לפרקטלים. מבנים בטבע כמו צורת הכרובית, מבנה העורקים של העלה, התפצלות כלי הדם בגוף, פתית שלג או צורת קו חוף (במיוחד של הפיורדים בנורווגיה) - כל אלה מזכירים מאד את הפרקטלים ומראים שבטבע יש שיטה גם בדברים שאינם מובנים בצורה מתמטית.
הנה סרטון הסבר למושג הפרקטל (מתורגם):
http://youtu.be/Tm0U2VxFd8Q
הסבר מילולי על הפרקטלים - מהתבניות היותר מעניינות שבטבע (עברית):
http://youtu.be/ofA2tBvcbhw?t=3m38s
המתמטיקה של הפרקטלים בסרטון מקסים לפי ז'אנר הסרט האפל (מתורגם):
https://youtu.be/0C75vRVL5lE
הפרקטלים שבטבע:
https://youtu.be/XwWyTts06tU
עוד פרקטלים בטבע:
https://youtu.be/dZM45mfJQ40
להדגמת הרקורסיה הפשוטה, הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר:
http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s
ופרקטל מתמטי ללא סוף, בגרפיקה ממוחשבת ואנימציה מוסיקה נהדרים:
https://youtu.be/hRrBnI5L0u8?long=yes
ודאי היכרתם או קראתם באאוריקה על הפרקטלים, אותן צורות מתמטיות מיוחדות שהתגלו על ידי חוקר הפרקטלים בנואה מנדלברוט והעסיקו חוקרים רבים מתחילת המאה ה-20.
את הפרקטלים ניתן לזהות בכך שיש להם דמיון עצמי. כלומר, כל חלק בהם דומה לדבר השלם. גם בטבע ישנם לא מעט דברים שאם נביט בחלק קטן מהם נגלה את אותה צורה של השלם - בקנה מידה קטן. וגם בחלק הקטן הזה, אם נביט בעזרת זכוכית מגדלת, נוכל לראות שחלקיו שלו דומים גם הם לשלם וחלק הזה וכך זה יכול להמשיך עוד ועוד פנימה. תמיד אותה צורה ושמה...
אז אומרים לכם שכל כך הרבה פרקטלים יש בטבע ואפשר לראותם כמעט בכל מקום. אבל איפה זה בדיוק בכל מקום?
ובכן, בכרובית, בברקים, בריאות, שרכים, מפלים, בפתיתי שלג, בנימי העלה, בענפי העצים, גבישי הקרח, בענני קומולוס, בכלי הדם שלנו, בבועות סבון, בחופי ים מפורצים של פיורדים נורווגיים או בחופי אגמים כמו אגם נאצר שבמצרים, בשוניות אלמוגים במעמקי הים ועד לגלקסיות הענקיות שבחלל.
כן. בטבע נוכל למצוא צורות רבות שיש להן תכונות פרקטליות. דוגמה מפורטת היא לצלם את אורכו של חוף ים ממטוס ולראות שצורתו דומה מאד לזו שנראה בטיול לאורך החוף, כשנביט בפרטים הקטנים שלו. גם מדידת אורכו של קו החוף תגלה לנו דבר מדהים - אורכו הוא בפשטות אינסופי. זה קורה משום שקנה המידה משפיע על המדידה. אם נחשב אורך חוף מתמונת לוויין נקבל אורך קטן בהרבה מזה שיתקבל אם נמדוד את הדרך שעושה נמלה ההולכת לאורכו. הסיבה היא שהשיפולים והשיפועים שחווה הנמלה בקו החוף מאריכים לה את הדרך בטירוף. זה סוג של פרקטל - הנמלה רואה את צורת קו החוף, שהיא זהה לצורה שמצלם הלווים מהחלל.
פרקטלית היא גם הכרובית למשל. אם נחתוך אותה לאורך, נראה שיש בה התפצלויות שיוצרות המון כרוביות קטנות, שבעצמן מתפצלות כל אחת לכרוביות זעירות, שבכל אחת יש כרוביות מיקרוסקופיות והלאה.
בצורה דומה מתפצלות הריאות שלנו או כלי הדם שבגופנו. אבל אתם לא יכולים להביט אל תוך הלב, אז קחו עלה של עץ או שיח ושימו לב לנימים של העלה. נכון שהם מסתעפים ומתפצלים עוד ועוד, כשמכל נים יוצאים נימים קטנים, שמהם יוצאים נימים זעירים וכך הלאה? - גם בכלי הדם שבגופנו יוצאים כך עשרות כלי דם קטנים מכל אחד, בתבנית החוזרת על עצמה שוב ושוב, עד לנימים זעירים ודקיקים במיוחד.
הנה הסבר הפרקטלים שבטבע:
https://youtu.be/Tm0U2VxFd8Q
שלל פרקטלים טבעיים:
https://youtu.be/4IRLvYOZD8A
עוד פרקטלים בטבע:
https://youtu.be/XwWyTts06tU
ואובייקטים טבעיים שהם פרקטלים:
https://youtu.be/dZM45mfJQ40
חבורת מנדלברוט, קבוצת מנדלברוט או סט מנדלברוט, הם שמות לצורות שחוזרות על עצמן ללא סוף. אלה צורות עם דמיון עצמי, כלומר כל חלק שלהן דומה לשלם. במילים אחרות, בכל צורה כזו נוכל לראות את הצורה בחלקים השונים שבה וכך שוב ושוב כשנביט אל חלקי החלקים הללו, ככל שנביט פנימה. כשבוחנים פרקטל בזום, או בזכוכית מגדלת, מגלים את אותו הדפוס בקנה מידה קטן וכך זה הולך וקטן לקני מידה הולכים וקטנים, עד אינסוף.
את הצורות המופלאות הללו יצר המתמטיקאי הצרפתי בנואה מנדלברוט, על פי פרקטלים של ג'וליה, מתמטיקאי שקדם לו. המעניין הוא שאלה צורות המערבות סיבוכיות, הרמוניה ויופי, אבל למעשה משתמשות בנוסחה מתמטית פשוטה. משהו כמו Zn = Z + C^2 כשכל מספר ב-C ייתן צורה שונה לחלוטין.
והתגלית המעניינת היא שהצורות הללו נראות כמו הרבה דברים שאנו מכירים מהטבע. בסטים הללו נוצר מגוון אדיר של צורות קסומות, המזכירות איים קסומים ודימיוניים, קישוטים בארוקיים מדומים, עצים מרהיבים, חופים כפי שהן נראים ממעוף הציפור וכדומה. זו הסיבה שכיום עושים בסט מנדלברוט שימוש ביצירת נופים ועולמות מדומים במשחקי מחשב, בעולמות מדומים, בסרטים ובסימולציות שונות.
הנה הפרקטלים שבטבע וכיצד ניתן ליצור אותם בעצמנו:
http://youtu.be/XwWyTts06tU
הבה נתקרב עוד ועוד לפרקטל הכי מוכר מקבוצת מנדלברוט:
http://youtu.be/gEw8xpb1aRA
הסבר על הפרקטלים של מנדלברוט:
http://youtu.be/STSS3_cVauk
ושיר על הסט של מנדלברוט:
http://youtu.be/ES-yKOYaXq0
האם ניסיתם פעם למדוד אורכו של משהו? - זה לא אמור להיות קשה, נכון?
אבל חופים הם לפעמים בעיה של ממש למודדים.. וזה לא רק לפעמים - חופים הם בעיקרון בעיה למודדים! - הם מדגימים היטב את הרעיון שהמימד הוא לא מוחלט אלא תלוי בסקלה שבה אנו מסתכלים או מודדים.
למה אנו מכוונים?
כשאנו מודדים את אורכו של קו חוף, נגלה תופעה מאד מוזרה - ככל נתקרב לקו החוף, יילך אורכו ויגדל. פרדוקס קו החוף הוא ההבחנה המדעית שאין לנו יכולת למדוד באמת את אורכו של קו חוף. כי ככל שהסרגל שלנו יהיה קטן יותר, ניאלץ נמדוד את החוף מקרוב יותר, הפיתולים שלו יימדדו ויאריכו את האורך הנמדד של קו החוף.
במילים אחרות - קו החוף יילך ויגדל, ככל שנמדוד אותו ביחידות קטנות יותר. למה זה קורה? - כי סרגל הוא ישר ולא ניתן להשתמש בו כדי למדוד פיתולים הקטנים יותר מאורכו. לפיכך, ככל שהסרגל הוא קטן יותר, נוכל למדוד אתו בתוך הפיתולים ואורכו הסופי של החוף יגדל משמעותית.
כמובן שפרדוקס קו החוף לא מדבר רק על חופים, אלא על כל דבר שאינו ישר. נוכל לראות תופעה דומה גם במדידה של אורך העיגול, של פני השטח של אלמוג, של מידות המוח וכדומה.
פרדוקס קו החוף הוא אחת הדוגמאות שהציג במחקריו המתמטיקאי בנואה מנדלברוט. הוא הדגים בעזרתו כיצד יכול השימוש בפרקטלים, אותם יצורים מתמטיים של דמיון עצמי, שמכילים את עצמם, לסייע בתיאור תופעות טבע, במקרה הזה את מבנה קו החוף. קראו עליהם באאוריקה בתגית "פרקטלים".
הנה סרטון הסבר לפרדוקס קו החוף:
https://youtu.be/kFjq8PX6F7I
והבעיה שמוצגת היטב במדידת אורכם של חופי אוסטרליה:
http://youtu.be/I_rw-AJqpCM
פרקטלים
רקורסיה היא קצת מורכבת להסבר אבל מאד פשוטה להבנה. מגדירים אותה כמיקוד של בעיה כללית אל בעיה "קטנה" יותר, אך זהה לזו המקורית. כך גם הגדרה רקורסיבית היא הגדרה שחייבת לפנות לאותה הגדרה, אבל בתנאים שונים. ותמיד יהיה שם תנאי עצירה, כדי שהרקורסיה לא תהיה אינסופית..
הגדרה אחרת לרקורסיה היא "הגדרת בעיה במונחים של עצמה".
רוצים דוגמה:
"אם הבנת מהי רקורסיה, חזור אל הדף ממנו הגעת. אם לא – קרא בדף זה מהי רקורסיה".
הדוגמה הזו מסבירה בדיוק את הרקורסיה, כי תנאי העצירה הוא "אם הבנת.." ואם לא אז חוזרים לאותה דוגמה כדי ללמוד מהי רקורסיה מחדש ולבסוף מבינים שהרקורסיה היא מה שאתה מתבקש לעשות..
גם מתכנתים משתמשים ברקורסיה והם מתארים פונקציה רקורסיבית כ"פונקציה שקוראת לעצמה". היא קוראת לעצמה עד שלא ניתן יותר לעשות זאת. נכון היה יותר לומר שפונקציה כזו קוראת לעותק של עצמה.
לרוב נותנים לרקורסיה כזו את הדוגמה של חישוב n-עצרת במתמטיקה (=מכפלת 1 כפול 2 כפול 3… עד כפול n).
ואגב, הנה משפט משעשע ונכון: "כדי להגדיר רקורסיה, קודם-כל צריך להגדיר רקורסיה.."
הנה סרטון שמדגים איך רקורסיה עובדת כשעושים בעזרתה גרפיקה ממוחשבת:
http://youtu.be/ghZKKaZkzrE
כניסה פנימה לפרקטל - צורה גרפית שנקראת "משולש סירפינסקי" שנבנתה בפונקציה רקורסיבית:
http://youtu.be/P5EkdJRtF-4
והסבר למתכנתים (עברית):
https://youtu.be/B19qH3XFnxY?long=yes
על העלים אפשר לראות קווים דקיקים. אלה הם העורקים, שהם מעין צינורות דקים שמגיעים לכל פינה בעלה. ממש כמו שבעורקי האדם עובר דם, שמזין את כל חלקי גופנו, כך עובר המוהל בעורקיו של העלה ומזין אותו.
שימו לב שכמו מערכת הדם של בעלי החיים, עורקי העלים בנויים בצורה של פרקטל. מכל ענף מתפצלים ענפים נוספים וחוזר חלילה. בכל קנה מידה תראו את אותו מבנה של ענף ראשי וממנו ענפי משנה, שמהם עוד ענפים וכך הלאה.
הנה סרטון על עורקי העלה:
http://youtu.be/swLVNljDS64?t=22s
והנה סיפור העץ הנדיב:
http://youtu.be/LxMy8Xa58Fo
בנואה מנדלברוט היה מתמטיקאי שמצא שיש צורות רבות שכל חלק שלהן הוא כמו השלם, או מזכיר אותו. מדידה של שטח הפנים של צורות כאלה תלוייה ביכולת שלנו לבחון אותו, מכיוון שככל שנתקרב אל העצם, נגלה חספוס הולך וגובר, שיגדיל את שטח הפנים.
מנדלברוט מצא שכלל מתמטי פשוט, או נוסחה פשוטה, יכולים להגדיר מצוין את העצם שנראה שאין בו חוקיות או היגיון כלשהם.
אגב, בנואה מנדלברוט עצמו מעדיף את המונח "חספוס" ולא אי-יציבות או אי-סדר, מכיוון שהוא רואה סדר בכל דבר ואין בעיניו שום דבר שאין בו סדר מסוים. להוכחה, המילה "פרקטל" שהוא בחר לתיאור של המחוספס והשבור באה מהמילה הלטינית פרקטוס (fractus), שפירושה "שבור".
למשל בכרובית הוא רואה גם תחכום וגם פשטות. אותם קונוסים שאנו רואים בברוקולי, חוזרים גם אם נביט בחלק מקונוס כזה ויחזרו שוב ושוב בכל קנה מידה שנביט בו. כך יהיה גם בעננים, בקווי חוף עם מפרצים בגדלים (מפיורדים עצומים ועד מפרצונים בגוגל מילימטרים), עצים (בהם עורקי העלה נראים כענפים וענפי העץ דומים לעצים) ועוד המון צורות שהן לכאורה אקראיות ולא בנויות בסדר של ממש, אבל כשנביט בחלק מהם נראה בגדלים שונים, תבנית דומה לזו שראינו בעצם המלא.
איך זה מסתדר? - ובכן, בכולם יש מרכיב שניתן למצוא והוא "הדמיון העצמי" (Self similarity), שבו אותה צורה חוזרת שוב ושוב, ככל שנתקרב. ומסתבר שאותה צורה שבה ענפים יוצאים מענפים בעץ, היא גם הצורה של צינורות הדם בגופנו, נימי העלים של העץ, נהרות על פני כדור הארץ וכן הלאה. מסתבר שהטבע עושה שימוש בחוק זהה להמון מקרים שאינם קשורים זה בזה ושכביכול אין בהם שום סדר הגיוני.
ל"דמיון העצמי" מנדלברוט קרא "פרקטל". הוא גם הבין שניתן לעבוד עם הפרקטלים הפוך ולהשתמש בסדרה של חוקים מתמטיים פשוטים, כדי לייצר צורות כאלה. בסוף שנות ה-50 הוא השתמש במחשב כדי לייצר צורות כאלה. הוא עשה מהפכה של ממש בגאומטריה, שכן הוא החל לקרב אותה לעולם הטבע.
אם קודם לפרקטלים לא סייעה הגאומטריה לתאר את הצורות של גורמים בטבע, כמו הרים, עננים, עצים, ירקות וקווי חוף, הרי שהפרקטל, שמסייע למצוא סדר בדפוסים מורכבים ביותר, שינה את זה והראה את הסדר המתמטי שבו מתנהל הטבע והעולם הכאוטי. או במילים שלו כפי שכתב בהקדמת ספרו "עננים הם לא כדורים, הרים אינם בעלי צורה של חרוט, קו החוף לא עשוי ממעגלים, קליפת העץ איננה חלקה והברק אינו מתקדם בקו ישר".
בחייו סבל מנדלברוט לא מעט בשל הפרקטלים. הממסד המתמטי ממש נידה אותו בשל ההתעסקות בתמונות, שלא יאה למתמטיקאי רציני. מי שהצילה אותו מחוסר תעסוקה הייתה חברת IBM, שלא זו בלבד שהעסיקה אותו במרכז המחקר שלה, אלא אף נתנה לו לעשות כרצונו. בעזרת חוק רקורסיבי פשוט מאוד הוא מצליח עתה לייצר תמונות בעלות מורכבות הולכת וגדלה, בה רואים ברמות שונות, כאמור, צורות דומות.
גם הציבור הרחב מתחיל להתחבר לרעיונות שלו, שבניגוד לרעיונות מתמטיים רגילים, קל להבינם. מה עוד שניתן היה לראותם לפתע, בתוצרי מחשב מודפסים. את הצד הגרפי של הפרקטלים ניתן היה גם לחקור וליישם באדריכלות, בעיצוב מוצר ובתעשיות שונות.
וכך זוכה מי שכילד בן 12 הפך לפליט פולני בצרפת ולימד את עצמו מתמטיקה לבדו, הוא זוכה בשלב מסוים בציבור לכינוי "כוכב הרוק של המתמטיקה". כי גם אם רעיונותיו על הפרקטלים עדיין לא מתקבלים אצל הקהילה המדעית, מעל ראשם הוא הופך די מהר לאחד המתמטיקאים המשפיעים בהיסטוריה.
הנה סרטון שמסביר זאת היטב:
http://youtu.be/Dm-zy5f4qIo
הדמיון העצמי של פרקטל:
http://youtu.be/9G6uO7ZHtK8
הסבריו של מנדלברוט עצמו:
http://youtu.be/pDajf3PXpNI
ודוגמאות שונות לסט מנדלברוט, שמערב סיבוכיות, הרמוניה ויופי בשימוש בנוסחאות פשוטות:
http://youtu.be/G_GBwuYuOOs
לוליין לוגריתמי, ספירלה לוגריתמית, או ספירלת הזהב, הם שמות של אחת התופעות המרהיבות בטבע. מדובר בצורה גיאומטרית, של קו עקום ומעגלי המתחיל מנקודה כלשהי ומסתחרר בצורה מעגלית כלפי חוץ, כשהרדיוס של המעגל הולך וגדל, כמו חילזון (ספירלה).
צורה זו היא מעין צורה בסיסית של יופי. היא כוללת סימטריה והרמוניה - שתי התכונות שגורמות לבני אדם לזהות דבר יפה, כבר ממבט ראשון. כבר דורות מתואר הלוליין הלוגריתמי בתור "הפרופורציה האלוהית". כזו שיכולה להקנות לדברים שהאדם עושה את תכונות היופי הכי מוכרות, סימטריה והרמוניה.
שתי התוכנות הללו מתמזגות בלוליין הלוגריתמי. בזכותו הופכים הפרחים, למשל, ליפים בעינינו, כמו גם בעיני בעלי חיים. בזכות היופי ההרמוני והסימטריה המושלמת נמשכים אליהם הדבורים, הפרפרים והחרקים ומוצאים בהם מקור למזון וחיים.
השלמות והיופי הללו, של מה שקיבל את השם "יחס הזהב", גלומים בכל פינה בטבע. מפרחים כמו חמנית או ורד, פירות דוגמת אננס, ירקות כמו הכרוב והכרובית, צמחים כמו ברוקולי ואצל בעלי חיים כמו במראה קרני האיילים, פרפרים, שבלולים, קונכיות וחלזונות - כולם מתפתחים כך. גם בתופעות טבע כמו מערבולות מים ואוויר ואפילו גלקסיות עם מיליארדי כוכבים. כל אלה נראים כך. הסיבה היא שהאנרגיה הדרושה לכל אלה היא המינימלית. גדילה כזו של יצורים חיים, או קיומן של תופעות כמו מערבולת או אפילו גלקסיה, תובעות אנרגיה רבה. לכן חסכון טבעי בה הוא הכי טוב.
התופעות הללו משכו את תשומת לב האמנים ומתכנני המבנים, שכן יופיים לא משתנה והם נחשבים יפים בכל תקופה ובכל תרבות שהן. מקרני האיילים שהיו לקורות עמודים רומיים, אזור המפתחות בכלי המיתר ועד ללוליינים לוגריתמיים שהיו לכלי אמנותי בציור ובעיצוב והאדריכלות של מוזיאון גוגנהיים.
בצמחים ופרפרים רבים, גם כשהתכונות הללו לא נראות במבט ראשון, אפשר לדמיין את הצורה הלוליינית ומיד מזהים את ההרמוניה והסימטריה שהעין כה אוהבת.
הנה הספירלה של הלוליין הלוגריתמי שמופיעה בטבע בכל מקום:
https://youtu.be/nt2OlMAJj6o
ספירלת הזהב על פי פיבונאצ'י, היא הלוליין הלוגריתמי:
https://youtu.be/RKdrI9MZXHQ
תיאור של לוליין לוגריתמי בעזרת תוכנה מתמטית:
https://youtu.be/gXU1D2aF8QI
ומצגת וידאו של מרכיבים לולייניים שונים בטבע:
https://youtu.be/Qq7nU62ww0U
גלקסיית שביל החלב, הגלקסיה שבה נמצא כדור הארץ היא גלקסיה ספירלית, חלזונית. גם הגלקסיה השכנה, גלקסיית אנדרומדה, שייכת לסוג זה. גלקסיות ספירליות, או גלקסיות לולייניות, הן גלקסיות שיש להן צורה לוליינית, דמוית חילזון. במרכז של גלקסיה כזו יש מעין עיגול שטוח בצורת דיסקה ולו זרועות שיוצרות מבנה ספירלי.
הצורה האופיינית לגלקסיות כאלה היא של חילזון והיא מתקבלת מהאופן שבו נעים הכוכבים בגלקסיה, צורת תנועה שהיא אמנם אטית מאוד ונמדדת במשכי זמן של מאות מיליוני שנים, אך בבסיסה היא דומה לתנועה של המים במערבולות מים, לתנועת האוויר בסופות טורנדו או לחול הנע בעמודי חול כמו עלעול.
כמו בחלזונות וביצירות אמנות, מבנים אדריכליים ויצירות מוסיקליות מרתקות, מדהים לגלות שגם בצורתן של גלקסיות כאלה, על מיליארדי הכוכבים שבהן, ניתן לראות את היחס המתמטי המופלא של "חיתוך הזהב" (או "יחס הזהב"). יחס מופלא זה, שמתקבל מחלוקת האורך של מלבן הזהב ברוחב שלו, זכה לשם "הפרופורציה האלוהית". קראו עליו באאוריקה בתגית "יחס הזהב".
ברוב המקרים נמצאות הגלקסיות הספירליות בשולי צבירי גלקסיות ולא במרכזן.
הנה הגלקסיות הלולייניות:
https://youtu.be/5sGKuoBnTn0
תצוגה גרפית של גלקסיית שביל החלב הספירלית:
https://youtu.be/C4V-ooITrws?t=30s
התבוננות בפרטים בצילום של M81 - גלקסיה חלזונית מרוחקת הנמצאת מעל 11 מיליון שנות אור מכדור הארץ:
https://youtu.be/0seVq5ydqzk
הדגמת מחשב של היווצרות גלקסיה לוליינית (במהירות מואצת כמובן, כי במציאות התהליך נמשך מיליוני שנים):
https://youtu.be/LTlSLVbYFso
עוד אחת:
https://youtu.be/hVNuwAtnKeg
והצגה של המבנה הפרקטלי של הגלקסיה החלזונית וכמה שהוא דומה למבנים טבעיים רבים:
https://youtu.be/vGq3x31ex1Y
מהו משולש סירפינסקי?
משולש שרפינסקי, שנקרא גם ספוג שרפינסקי או משולש סירפינסקי, הוא אחד הפרקטלים המפורסמים. את ההיכרות עימו עשו המתמטיקאים בשנת 1915. המשולש קיבל את שמו מהמתמטיקאי הפולני שתיאר אותו לראשונה, ואצלב שרפינסקי.
משולש שרפינסקי הוא דוגמה מצוינת ופשוטה במיוחד לפרקטל, צורה שמורכבת מעותקים מוקטנים של עצמה, עד אינסוף. הוא בנוי משלושה עותקים שלו שהוקטנו בחצי שוב ושוב.
הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר, להדגמת הרקורסיה הפשוטה:
http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s
סרט אפל מתורגם ומדהים על הפרקטלים ומשולש שרפינסקי בתוכם (מתורגם):
https://youtu.be/0C75vRVL5lE
סרטון בגרפיקת מחשב של "משולש סירפינסקי" שנבנה ברקורסיה בתלת-מימד:
http://youtu.be/P5EkdJRtF-4
משולש שרפינסקי מסוכריות של החג הנוצרי המעט מפחיד "ליל כל הקדושים":
http://youtu.be/z8ZWlUamNPI
וכך יוצרים פרקטלים כמו משולש סרפינסקי:
http://youtu.be/XwWyTts06tU?t=1m22s
משולש שרפינסקי, שנקרא גם ספוג שרפינסקי או משולש סירפינסקי, הוא אחד הפרקטלים המפורסמים. את ההיכרות עימו עשו המתמטיקאים בשנת 1915. המשולש קיבל את שמו מהמתמטיקאי הפולני שתיאר אותו לראשונה, ואצלב שרפינסקי.
משולש שרפינסקי הוא דוגמה מצוינת ופשוטה במיוחד לפרקטל, צורה שמורכבת מעותקים מוקטנים של עצמה, עד אינסוף. הוא בנוי משלושה עותקים שלו שהוקטנו בחצי שוב ושוב.
הנה משולש סרפינסקי שלא נגמר, להדגמת הרקורסיה הפשוטה:
http://youtu.be/QsMvoui5WlQ?t=10s
סרט אפל מתורגם ומדהים על הפרקטלים ומשולש שרפינסקי בתוכם (מתורגם):
https://youtu.be/0C75vRVL5lE
סרטון בגרפיקת מחשב של "משולש סירפינסקי" שנבנה ברקורסיה בתלת-מימד:
http://youtu.be/P5EkdJRtF-4
משולש שרפינסקי מסוכריות של החג הנוצרי המעט מפחיד "ליל כל הקדושים":
http://youtu.be/z8ZWlUamNPI
וכך יוצרים פרקטלים כמו משולש סרפינסקי:
http://youtu.be/XwWyTts06tU?t=1m22s
מהם מגדלי האנוי?
מגדלי האנוי הם שם של חידה מפורסמת שהומצאה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס בשנת 1883. ב"מגדלי הנוי" נתון מגדל עם דיסקיות שהיקפן הולך ונעשה קטן ככל שהן עליונות (הרחבות למטה). מטרת החידה היא להעביר את כל המגדל בשלמותו לאחד משני העמודים הריקים שלידו. כמובן שיש להעביר את הדיסקיות במה שפחות צעדים וכמה שיותר מהר.
החידה משמשת ללימוד מתמטיקה ומדעי המחשב ולהמחשת מושגים כמו רקורסיה (ראו באאוריקה בתגית "רקורסיה"). עוד פרט מעניין - אם נסמן בנקודה כל מצב חוקי במשחק מגדלי האנוי, ונקשר בקווים את המצבים שבהם אפשר לעבור מאחד לשני, נקבל למול עינינו את גרף המשחק, בצורה של הפרקטל המוכר כ"משולש שרפינסקי".
אגב, לוקאס המציא גם אגדה שמדובר במקדש בראהמי שבו הכהנים מעבירים מגדל בן 64 דיסקיות. על פי האגדה שלו, כשיסיימו הכהנים את עבודתם, יגיע גם סוף העולם..
ישנם כללים להעברה:
א. בכל שלב תעבור רק דיסקית אחת מקום.
ב. אסור שיהיה מצב שדיסקית תהיה מונחת על דיסקית קטנה יותר.
הנה דרך לפתרון של חידת מגדלי האנוי:
http://youtu.be/BMkOBNZHcIs
מגדלי האנוי הם שם של חידה מפורסמת שהומצאה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס בשנת 1883. ב"מגדלי הנוי" נתון מגדל עם דיסקיות שהיקפן הולך ונעשה קטן ככל שהן עליונות (הרחבות למטה). מטרת החידה היא להעביר את כל המגדל בשלמותו לאחד משני העמודים הריקים שלידו. כמובן שיש להעביר את הדיסקיות במה שפחות צעדים וכמה שיותר מהר.
החידה משמשת ללימוד מתמטיקה ומדעי המחשב ולהמחשת מושגים כמו רקורסיה (ראו באאוריקה בתגית "רקורסיה"). עוד פרט מעניין - אם נסמן בנקודה כל מצב חוקי במשחק מגדלי האנוי, ונקשר בקווים את המצבים שבהם אפשר לעבור מאחד לשני, נקבל למול עינינו את גרף המשחק, בצורה של הפרקטל המוכר כ"משולש שרפינסקי".
אגב, לוקאס המציא גם אגדה שמדובר במקדש בראהמי שבו הכהנים מעבירים מגדל בן 64 דיסקיות. על פי האגדה שלו, כשיסיימו הכהנים את עבודתם, יגיע גם סוף העולם..
ישנם כללים להעברה:
א. בכל שלב תעבור רק דיסקית אחת מקום.
ב. אסור שיהיה מצב שדיסקית תהיה מונחת על דיסקית קטנה יותר.
הנה דרך לפתרון של חידת מגדלי האנוי:
http://youtu.be/BMkOBNZHcIs
איך נוצרות בועות סבון?
הסבון, כשמוסיפים אותו למים, הופך את פני המים לגמישים יותר וקלים להתמתחות. הסבון מחליש את מתח הפנים של המים והופך אותם גמישים. כך נשיפה לתוך המים יוצרת בלונים ולא שוברת אותם.
הבלונים האלה נקראים "בועות הסבון". ובועות הסבון הללו מרתקות כי הן בנויות כפרקטלים טבעיים, בהן על כל בועה, יושבות בועות קטנות, שעל כל אחת מהן בועות זעירות יותר וכן הלאה.
רוצים טיפ קטן? - אם משתמשים במים ממזגן או מי גשמים ומוסיפים למים ולסבון מעט חומר שנקרא גליצרין, המים נעשים עוד יותר גמישים ואז אפשר לייצר בנשיפה בלונים ממש, אבל ממש גדולים!
הנה סרטון על הכנת בועות סבון גדולות מאד:
http://youtu.be/Afx7KAWy-Gg
וגברת שפריץ שעושה פלאים עם בועות סבון:
http://youtu.be/mL-qSknzPJE
הסבון, כשמוסיפים אותו למים, הופך את פני המים לגמישים יותר וקלים להתמתחות. הסבון מחליש את מתח הפנים של המים והופך אותם גמישים. כך נשיפה לתוך המים יוצרת בלונים ולא שוברת אותם.
הבלונים האלה נקראים "בועות הסבון". ובועות הסבון הללו מרתקות כי הן בנויות כפרקטלים טבעיים, בהן על כל בועה, יושבות בועות קטנות, שעל כל אחת מהן בועות זעירות יותר וכן הלאה.
רוצים טיפ קטן? - אם משתמשים במים ממזגן או מי גשמים ומוסיפים למים ולסבון מעט חומר שנקרא גליצרין, המים נעשים עוד יותר גמישים ואז אפשר לייצר בנשיפה בלונים ממש, אבל ממש גדולים!
הנה סרטון על הכנת בועות סבון גדולות מאד:
http://youtu.be/Afx7KAWy-Gg
וגברת שפריץ שעושה פלאים עם בועות סבון:
http://youtu.be/mL-qSknzPJE
מהם ענני הערימה השטוחים למטה ותפוחים למעלה?
רואים בשמיים עננים תפוחים, שתחתיתם שטוחה? - אלה ענני ערימה, או בשמם הלועזי ענני קומולוס (Cumulus).
ענני הערימה הם עננים תפוחים למעלה ושטוחים בתחתיתם.
העננים הללו, במיוחד הגדולים שבהם, גורמים לעתים קרובות לגשמים עזים ואף לברד.
ענני הקולומבוס נימבוס הללו הם בדרך כלל אלה שגורמים לברקים ורעמים.
ענני הקומולוס הללו הם עננים מרתקים כי הם בנויים על פי עקרון פרקטלי, כלומר הם פרקטלים טבעיים. מכל ענן יוצאות שלוחות הדומות לו ומכל שלוחה עוד שלוחות ענן קטנות וכך הלאה.
הנה סרטון קפיצות זמן של ענני ערימה:
http://youtu.be/232LFz-aiz4
וכך נוצרים הברקים מענני הגשם הללו:
https://youtu.be/WyygaemPt9s
רואים בשמיים עננים תפוחים, שתחתיתם שטוחה? - אלה ענני ערימה, או בשמם הלועזי ענני קומולוס (Cumulus).
ענני הערימה הם עננים תפוחים למעלה ושטוחים בתחתיתם.
העננים הללו, במיוחד הגדולים שבהם, גורמים לעתים קרובות לגשמים עזים ואף לברד.
ענני הקולומבוס נימבוס הללו הם בדרך כלל אלה שגורמים לברקים ורעמים.
ענני הקומולוס הללו הם עננים מרתקים כי הם בנויים על פי עקרון פרקטלי, כלומר הם פרקטלים טבעיים. מכל ענן יוצאות שלוחות הדומות לו ומכל שלוחה עוד שלוחות ענן קטנות וכך הלאה.
הנה סרטון קפיצות זמן של ענני ערימה:
http://youtu.be/232LFz-aiz4
וכך נוצרים הברקים מענני הגשם הללו:
https://youtu.be/WyygaemPt9s
מה מלכותי בכרובית?
כרובית (Cauliflower) היא אחד מ"הפרחים האכילים", מיני מזון שהם למעשה פרחים. הירק הבריא הזה נחשב לחבר האריסטוקרטי של משפחת הכרוב. אמנם מבחינה ביולוגית קרובה הכרובית לכרוב, אבל הם עשו את דרכם אל שולחננו בנפרד.
ויש עוד הבדל ביניהם והוא קשור במבנה של הכרובית. כמו הברוקולי ועוד כמה ירקות, גם לכרובית יש פרחים בעלי צורה פרקטלית. כלומר, אם תביטו בחלק הלבן של הכרובית, תבינו שהוא בעצם פרח גדול. והפרח הזה מורכב, למעשה, מעותקים מוקטנים של עצמו. כל עותק מורכב מעותקים קטנים יותר של הפרח המקורי, וכל עותק מהקטנים מורכב מהמון עותקים קטנים נוספים. כך זה ממשיך ויורד לגדלים קטנים והולכים - כל חלק וחלק של הפרח שנביט בו בהגדלה, יהיה גם הוא דומה לצורת הפרח המקורי.
כיום נוטים לומר על הכרובית שהיא מלכה, אבל מסיבה בריאותית דווקא. מחקרים מודרניים רבים הראו שהכרובית היא סוג של "מזון על", שכן היא עוזרת לגוף בשלל משימות של שמירה והגנה על עצמו. מסיוע לגוף להילחם בתאים סרטניים, דרך סיוע בחיזוק הקיבה ועד לשיפור הלמידה, הזיכרון ותפקודי והגנה על המוח.
היא מוגשת בכל כך הרבה צורות ושילובים טעימים. מכרובית בטחינה ועד לשילוב המצוין של סלט כרובית, ברוקולי, אפונה וגזר. איכלו כרובית!
הנה הכרובית על ההיסטוריה והגידול שלה:
https://youtu.be/EM0AUU5W6iw
כך מגדלים ואוספים את הכרובית (עברית):
https://youtu.be/3k-RnD3nHvU
וההגיון הפרקטלי בכרובית:
https://youtu.be/XwWyTts06tU
כרובית (Cauliflower) היא אחד מ"הפרחים האכילים", מיני מזון שהם למעשה פרחים. הירק הבריא הזה נחשב לחבר האריסטוקרטי של משפחת הכרוב. אמנם מבחינה ביולוגית קרובה הכרובית לכרוב, אבל הם עשו את דרכם אל שולחננו בנפרד.
ויש עוד הבדל ביניהם והוא קשור במבנה של הכרובית. כמו הברוקולי ועוד כמה ירקות, גם לכרובית יש פרחים בעלי צורה פרקטלית. כלומר, אם תביטו בחלק הלבן של הכרובית, תבינו שהוא בעצם פרח גדול. והפרח הזה מורכב, למעשה, מעותקים מוקטנים של עצמו. כל עותק מורכב מעותקים קטנים יותר של הפרח המקורי, וכל עותק מהקטנים מורכב מהמון עותקים קטנים נוספים. כך זה ממשיך ויורד לגדלים קטנים והולכים - כל חלק וחלק של הפרח שנביט בו בהגדלה, יהיה גם הוא דומה לצורת הפרח המקורי.
כיום נוטים לומר על הכרובית שהיא מלכה, אבל מסיבה בריאותית דווקא. מחקרים מודרניים רבים הראו שהכרובית היא סוג של "מזון על", שכן היא עוזרת לגוף בשלל משימות של שמירה והגנה על עצמו. מסיוע לגוף להילחם בתאים סרטניים, דרך סיוע בחיזוק הקיבה ועד לשיפור הלמידה, הזיכרון ותפקודי והגנה על המוח.
היא מוגשת בכל כך הרבה צורות ושילובים טעימים. מכרובית בטחינה ועד לשילוב המצוין של סלט כרובית, ברוקולי, אפונה וגזר. איכלו כרובית!
הנה הכרובית על ההיסטוריה והגידול שלה:
https://youtu.be/EM0AUU5W6iw
כך מגדלים ואוספים את הכרובית (עברית):
https://youtu.be/3k-RnD3nHvU
וההגיון הפרקטלי בכרובית:
https://youtu.be/XwWyTts06tU
מהם פתיתי השלג ואיך הם נוצרים?
פתיתי שלג הם פתיתי קרח גדולים וגבישיים שנופלים מהעננים אל הקרקע. פתיתי השלג הם קלים בזכות האוויר שיש בהם. פתיתי שלג עשויים מגבישי שלג קטנטנים שנצמדים זה לזה.
הצורות המופלאות של פתיתי השלג עשויות במגוון אדיר וניתן לומר שאין שני פתיתי שלג זהים זה לזה. רבות מצורות פתיתי השלג הם פרקטליות, צורות שבהן ככל שמעמיקים ומתקרבים, רואים עוד ועוד מאותן צורות.
הדוגמאות הנפוצות ביותר בפתיתי השלג הן בצורת המשושה. זו שוב הצורה של המשושים, שכל כך נפוצה בטבע (ראו באאוריקה בתגית "משושים").
חלקים גדולים מכדור הארץ מכוסים בשלג. יש אזורים שבהם השלג מכסה את האדמה רק בעונת החורף ולקראת הקיץ השלגים מפשירים. באזורים אחרים, כמו הקוטב הצפוני והקוטב הדרומי ופסגות ההרים הגבוהים, האדמה מושלגת בכל עונות השנה.
כך נוצר השלג ואיך לכל אחד מפתיתי השלג יש צורה משלו (עברית):
https://youtu.be/omDSofC8L0E?end=1m17s
ההסבר לפתיתי השלג הללו (מתורגם):
https://youtu.be/FwGH4gulLX4
הצורות המופלאות של פתיתי השלג שיורדים בחורף:
http://youtu.be/s1lBbmQmpk0
על תוכנה שפותחה כדי לדמות את פתיתי השלג הללו באופן מדעי (מתורגם):
http://youtu.be/UtHsFVmHdZY
והפשרת השלגים בתחילת הקיץ:
http://youtu.be/MwdWMmFeXIo
פתיתי שלג הם פתיתי קרח גדולים וגבישיים שנופלים מהעננים אל הקרקע. פתיתי השלג הם קלים בזכות האוויר שיש בהם. פתיתי שלג עשויים מגבישי שלג קטנטנים שנצמדים זה לזה.
הצורות המופלאות של פתיתי השלג עשויות במגוון אדיר וניתן לומר שאין שני פתיתי שלג זהים זה לזה. רבות מצורות פתיתי השלג הם פרקטליות, צורות שבהן ככל שמעמיקים ומתקרבים, רואים עוד ועוד מאותן צורות.
הדוגמאות הנפוצות ביותר בפתיתי השלג הן בצורת המשושה. זו שוב הצורה של המשושים, שכל כך נפוצה בטבע (ראו באאוריקה בתגית "משושים").
חלקים גדולים מכדור הארץ מכוסים בשלג. יש אזורים שבהם השלג מכסה את האדמה רק בעונת החורף ולקראת הקיץ השלגים מפשירים. באזורים אחרים, כמו הקוטב הצפוני והקוטב הדרומי ופסגות ההרים הגבוהים, האדמה מושלגת בכל עונות השנה.
כך נוצר השלג ואיך לכל אחד מפתיתי השלג יש צורה משלו (עברית):
https://youtu.be/omDSofC8L0E?end=1m17s
ההסבר לפתיתי השלג הללו (מתורגם):
https://youtu.be/FwGH4gulLX4
הצורות המופלאות של פתיתי השלג שיורדים בחורף:
http://youtu.be/s1lBbmQmpk0
על תוכנה שפותחה כדי לדמות את פתיתי השלג הללו באופן מדעי (מתורגם):
http://youtu.be/UtHsFVmHdZY
והפשרת השלגים בתחילת הקיץ:
http://youtu.be/MwdWMmFeXIo
מה יש בשונית האלמוגים?
מה זו שונית אלמוגים?
מהי שונית אלמוגים?
שונית האלמוגים (Coral Reef), המכונה גם ריף האלמוגים, בנויה בעיקר מאלמוגים. בשונית יש גם אצות וצמחים נוספים והיא מהווה מקום מחיה לדגים רבים ובעלי חיים ימיים נוספים ומגוונים.
השונית היא בית גידול ימי שנפוץ ברחבי הימים והאוקיינוסים והרבה מהמגוון הביולוגי שבים, מרוכז סביב שוניות אלמוגים ברחבי בעולם.
אגב, בשונית ניתן לראות המון אלמוגים הבנויים בצורת פרקטל. זה אומר שמכל ענף של האלמוג מתפצלים ענפים קטנים יותר, מכל אחד קטן מתפצלים ענפים עוד יותר קטנים וכך הלאה. בכל קנה מידה תראו את אותו מבנה של ענף ראשי, שממנו יוצאים ענפי משנה, שמהם עוד ענפים... זה מעניין כי יש פרקטלים רבים בטבע - ראו בתגית "פרקטלים טבעיים".
בעיר הדרומית שלנו אילת, נמצאת שונית האלמוגים היחידה בישראל. השונית באילת היא מהשוניות היפות ביותר בעולם ומהצפוניות ביותר בתבל.
הנה סיפורה של שונית האלמוגים (עברית):
https://youtu.be/tQWcq4_r1j0
מראות השונית של אילת (עברית):
https://youtu.be/9k-Y7Wurv7Q
עוד ממראות שונית האלמוגים (עברית):
https://youtu.be/96MaKRaznio
ישנן גם שוניות אלמוגים מלאכותיות, שהתפתחו על גבי ספינות טבועות או מתקנים שהוצבו על ידי אדם, כמו זו שבאילת (עברית):
https://youtu.be/dQRa7h1IK-g
ובימינו השוניות נמצאות באיום של פגיעה סביבתית ונזקים מתמידים (עברית):
https://youtu.be/GRYLbKH1XZc
מהי שונית אלמוגים?
שונית האלמוגים (Coral Reef), המכונה גם ריף האלמוגים, בנויה בעיקר מאלמוגים. בשונית יש גם אצות וצמחים נוספים והיא מהווה מקום מחיה לדגים רבים ובעלי חיים ימיים נוספים ומגוונים.
השונית היא בית גידול ימי שנפוץ ברחבי הימים והאוקיינוסים והרבה מהמגוון הביולוגי שבים, מרוכז סביב שוניות אלמוגים ברחבי בעולם.
אגב, בשונית ניתן לראות המון אלמוגים הבנויים בצורת פרקטל. זה אומר שמכל ענף של האלמוג מתפצלים ענפים קטנים יותר, מכל אחד קטן מתפצלים ענפים עוד יותר קטנים וכך הלאה. בכל קנה מידה תראו את אותו מבנה של ענף ראשי, שממנו יוצאים ענפי משנה, שמהם עוד ענפים... זה מעניין כי יש פרקטלים רבים בטבע - ראו בתגית "פרקטלים טבעיים".
בעיר הדרומית שלנו אילת, נמצאת שונית האלמוגים היחידה בישראל. השונית באילת היא מהשוניות היפות ביותר בעולם ומהצפוניות ביותר בתבל.
הנה סיפורה של שונית האלמוגים (עברית):
https://youtu.be/tQWcq4_r1j0
מראות השונית של אילת (עברית):
https://youtu.be/9k-Y7Wurv7Q
עוד ממראות שונית האלמוגים (עברית):
https://youtu.be/96MaKRaznio
ישנן גם שוניות אלמוגים מלאכותיות, שהתפתחו על גבי ספינות טבועות או מתקנים שהוצבו על ידי אדם, כמו זו שבאילת (עברית):
https://youtu.be/dQRa7h1IK-g
ובימינו השוניות נמצאות באיום של פגיעה סביבתית ונזקים מתמידים (עברית):
https://youtu.be/GRYLbKH1XZc
כמה כלי דם יש בגופנו ומה תפקידם?
כלי דם (Blood vessels) הם האיברים שאחראים במערכת הדם להעביר את הדם מהלב לכל אברי הגוף ובחזרה. כך מספקים כלי הדם חומרי הזנה ממערכת העיכול לאותם איברים.
שלושה סוגי כלי דם עיקריים קיימים בגופנו:
עורקים - כלי דם שמוליכים את הדם מהלב לרקמות
נימים - כלי דם שמאפשרים חילוף מים וכימיקלים, דוגמת הפחמן הדו-חמצני והחמצן, בין הדם לרקמות
ורידים - כלי דם שנושאים דם מן הנימים, בחזרה ללב.
אורך כלי הדם שיש בגוף האנושי הוא כמעט 100 אלף קילומטרים. זה אורך מטורף בשביל גוף של אדם אחד, אבל כדי להמחיש עוד יותר עד כמה האורך הזה מדהים נסביר שאין מרחק כזה, בין שני מקומות כלשהם, על גבי כל כדור הארץ כולו!
הדגמה אחרת של כמות כלי הדם שיש לנו בגוף? - אולי לא תאמינו אבל גוף האדם מכיל כל כך הרבה כלי דם, שאם היינו מחברים אחד לשני, את כל כלי הדם שבגופו של אדם אחד, ניתן היה להקיף בעזרתם את כדור הארץ כולו - כמעט 3 פעמים!
כך או כך, מערכת הדם בנויה בצורה של פרקטל. מכל כלי דם מתפצלים כלי דם נוספים, כשמכל אחד מהם מתפצלים רבים אחרים וחוזר חלילה. בכל קנה מידה תראו את אותו מבנה שכולל כלי דם ראשי, ממנו יוצאים כלי דם קטנים יותר, מהם עוד כלי דם זעירים וכן הלאה, עוד ועוד.
הנה סרטון על כלי הדם (מתורגם):
http://youtu.be/vPkouV8m7Q0
וכך מטפל הלב בדם (מתורגם):
https://youtu.be/ruM4Xxhx32U
כלי דם (Blood vessels) הם האיברים שאחראים במערכת הדם להעביר את הדם מהלב לכל אברי הגוף ובחזרה. כך מספקים כלי הדם חומרי הזנה ממערכת העיכול לאותם איברים.
שלושה סוגי כלי דם עיקריים קיימים בגופנו:
עורקים - כלי דם שמוליכים את הדם מהלב לרקמות
נימים - כלי דם שמאפשרים חילוף מים וכימיקלים, דוגמת הפחמן הדו-חמצני והחמצן, בין הדם לרקמות
ורידים - כלי דם שנושאים דם מן הנימים, בחזרה ללב.
אורך כלי הדם שיש בגוף האנושי הוא כמעט 100 אלף קילומטרים. זה אורך מטורף בשביל גוף של אדם אחד, אבל כדי להמחיש עוד יותר עד כמה האורך הזה מדהים נסביר שאין מרחק כזה, בין שני מקומות כלשהם, על גבי כל כדור הארץ כולו!
הדגמה אחרת של כמות כלי הדם שיש לנו בגוף? - אולי לא תאמינו אבל גוף האדם מכיל כל כך הרבה כלי דם, שאם היינו מחברים אחד לשני, את כל כלי הדם שבגופו של אדם אחד, ניתן היה להקיף בעזרתם את כדור הארץ כולו - כמעט 3 פעמים!
כך או כך, מערכת הדם בנויה בצורה של פרקטל. מכל כלי דם מתפצלים כלי דם נוספים, כשמכל אחד מהם מתפצלים רבים אחרים וחוזר חלילה. בכל קנה מידה תראו את אותו מבנה שכולל כלי דם ראשי, ממנו יוצאים כלי דם קטנים יותר, מהם עוד כלי דם זעירים וכן הלאה, עוד ועוד.
הנה סרטון על כלי הדם (מתורגם):
http://youtu.be/vPkouV8m7Q0
וכך מטפל הלב בדם (מתורגם):
https://youtu.be/ruM4Xxhx32U
