שלום,
נראה שכבר הכרתם את אאוריקה. בטח כבר גיליתם כאן דברים מדהימים, אולי כבר שאלתם שאלות וקיבלתם תשובות טובות.
נשמח לראות משהו מכם בספר האורחים שלנו: איזו מילה טובה, חוות דעת, עצה חכמה לשיפור או כל מה שיש לכם לספר לנו על אאוריקה, כפי שאתם חווים אותה.
»
«
מה זה פרדוקס?
פרדוקס (Paradox) הוא טענה שסותרת את עצמה, אמת שכוללת סתירה.
ברוב המקרים הפרדוקס כולל סתירה פנימית. במקרה כזה נובעים מהפרדוקס עצמו דבר והיפוכו. לעתים כולל הפרדוקס דווקא סתירה חיצונית ואז הוא סותר ידע קודם, או הנחה קודמת. נואמים נעזרים לעתים בפרדוקסים, על מנת לשכנע את השומעים לנטוש את דעותיהם.
דוגמה לסתירה פנימית שיוצרת פרדוקס הוא למשל "פרדוקס השקרן". בבסיס פרדוקס עומד המשפט "משפט זה הוא משפט שקר" - ננסה לברר... האם המשפט שקר? או שמה המשפט אמת?
ראשית נניח כי המשפט אמת, כלומר, המשפט "משפט זה הוא משפט שקר" הוא אמת. כעת נבדוק, האם ההנחה שלנו מתקיימת? - כמובן שלא. הנחה שלנו כי המשפט אמת איננה מתקיימת, מכיוון שהיא עומדת בסתירה לטענת המשפט כי המשפט הוא שקר. וקיבלנו סתירה להנחה שלנו כי המשפט אמת.
כעת ננסה להניח שהמשפט שקר, כלומר, המשפט "משפט זה הוא משפט שקר" הוא שקר. כעת נבדוק, האם ההנחה שלנו מתקיימת? - גם במקרה הזה, ההנחה איננה מתקיימת. הנחנו כי המשפט הוא שקר, וטענת המשפט היא שהמשפט הוא שקר. הרי שקיבלנו סתירה, כי אם המשפט הוא שקר אזי טענת המשפט כי המשפט הוא שקר תהיה טענת אמת, ולכן המשפט יהיה אמת וזה בסתירה להנחה שלנו כי המשפט הוא שקר.
למעשה, לא ניתן לקבוע האם המשפט "משפט זה הוא משפט שקר", הוא משפט אמת או משפט שקר. המשפט הוא משפט פרדוקסלי הסותר את עצמו וזו היא דוגמא ל"פרדוקס השקרן".
המילה פרדוקס באה מיוונית: para = מעבר למשהו ו-doxa = אמונה, דעה. בפילוסופיה יש לא מעט פרדוקסים מפורסמים (כמה מהם ניתן למצוא באאוריקה בתגית "פרדוקסים").
הנה הסבר מושג הפרדוקס:
http://youtu.be/tye7vejSY7k
מי היו הפיראטים ומתי היה תור הזהב שלהם?
הפיראטים (Pirates) של הים הקריבי ואזור החוף המזרחי של אמריקה הם לא אגדה או המצאה הוליוודית. מדובר בשודדי ים אכזריים ונחושים ששלטו באזור ימי נרחב, באוקיינוס האטלנטי. הם תקפו ספינות צבא, ערי חוף ובמיוחד ספינות ששטו עם אוצרות שנלקחו מהיבשת החדשה, בדרכן אל העולם הישן, אל יבשת אירופה.
האמת היא ששודדי ים היו קיימים מאז ומעולם ופיראטיות התקיימה מאז שחר ימי הימאות. היא קיימת מאז שהעז האדם להפליג בים ובעיקר מאז החלו ספנים להפליג לארצות רחוקות למטרות מסחר והבאה של דברי ערך, אבני חן, מתכות ומחצבים יקרים.
בין המאות ה-15 עד ה-19 התקיימה פיראטיות רבה, כשבין השנים 1650 ל-1730 בערך מתקיים מה שנקרא "תור הזהב של הפיראטים". התקופה הזו מתחילה עם נצחונה של אנגליה במלחמת אנגליה וספרד, מלחמה שנמשכה 12 שנים והתקיימה בין שתי אימפריות חזקות מאוד, מהחזקות באירופה של אותם ימים.
האימפריה של ספרד באותה תקופה היא עדיין כוח משמעותי, עד שלילה אחד היא מאבדת את צי האוצר שלה. זו הייתה תבוסה קשה, בה ספרד מאבדת, כמעט בין לילה אחד, את כל עושרה. זה היה שלל אגדי ועצום, שירד למצולות עם ספינותיה של ספרד שהוטבעו.
השלל הזה, כמו החורבן הכלכלי הספרדי, הוליד מסע של פיראטיות שעתיד כמעט לחסל את סחר הספנות האנגלי. אבל הצלחת הפירטים הספרדים משכה גם לא מעט ספנים ששמירת חוק לא הייתה מתכונותיהם הבולטות. הם הופכים להיות בעצמם פירטים, שודדי ים למען עצמם.
הפירטים הללו היו בחלקם הגדול ימאים לשעבר שחיפשו חיים טובים ומסעירים, אחרי שנים של הפלגות בשכר נמוך או בשירות צבאי. אך היו ביניהם גם מחוסרי עבודה, שפוטרו עם סיום מלחמת הירושה הספרדית והמלחמות הקולוניאליות. לפיראטיות הצטרפו גם פושעים נמלטים, נפלטי החברה המסודרת וסתם הרפתקנים מחפשי ריגוש.
הם זכו לפרסום אגדי באותם ימים. הם הטילו פחד ואימה על האימפריות הכי חזקות בעולם והיו הסיוט האכזרי והרצחני של המלחים.
לצד הפשעים שלהם, התמקמו הפיראטים בבסיסים באזורים מרוחקים כמו מדגסקר ואיי הבהאמה. קשה אולי להאמין, אך הם פיתחו מעין תרבות פיראטית, שכללה חלוקת שלל שוויונית, חוקים וקודים של התנהגות נאותה ביניהם ובחירה דמוקרטית של המנהיגים.
בין שודדי הים המפורסמים של התקופה נודעו אדוארד טץ' או טיץ' שהתפרסם כ"שחור הזקן" ונודע באכזריותו, הנרי מורגן שפשט על הספרדים ושרף את פנמה סיטי עד היסוד, סמואל בלמי, הוא "סאם השחור" שנודע גם כ"רובין הוד של הפיראטים", וויליאם קיד, שהוצא להורג והותיר אחריו אוצר קבור ומסתורי, אן בוני שהייתה פיראטית אישה, בנג'מין הורניגולד, הנרי ג'נינגס האכזר ועוד.
סופו של תור הזהב של הפיראטים הגיע בסביבות שנות ה-30 של המאה ה-18. הסיבות מגוונות, החל מאכיפה נגדם על ידי הצי המלכותי הבריטי ומדינות נוספות, חקיקה של חוקים נגד פיראטיות באירופה, שיפורים טכנולוגיים שהקשו עליהם את הפשיטות על ספינות וכיבוש בסיסיהם על ידי המעצמות הקולוניאליות.
איכשהו, בתרבות של ימינו זכתה הפיראטיות לתדמית מלהיבה ורומנטית, של "רובין הודים", ספנים נועזים ושוחרי שוויון, הלוקחים מהעשירים שגזלו את העניים ומחזירים להם כראוי. הם משחררים עבדים שחורים והופכים דווקא את השבויים הלבנים שלהם לעבדים, שישוחררו רק תמורת כופר גדול.
התקופה הזו הולידה שלל אגדות וסיפורים מדהימים, מלאים בקרבות חרבות ושופעים אוצרות אדירים של ממון וזהב, מטמונים שמוחבאים באיים סודיים ומפות אוצר עתיקות, שמסעירות עד היום את הדמיון.
לקראת סוף המאה ה-19 נראה היה שעבר עידן שודדי הים. אך בשנות ה-70 של המאה הקודמת החלה להירשם עלייה הדרגתית ברורה במקרי פיראטיות ימית. בשנים האחרונות התרחשו מקרים לא מעטים של מעשי שוד ימי, מרביתם בקרבת חופי סומליה שבאפריקה.
להיכרות עם הפיראטים המפורסמים, ראו בתגית "פיראטים".
הנה הפיראטים של פעם:
https://youtu.be/pFYp0RN8HMI
מיתוסים נכונים על פיראטים:
https://youtu.be/p3fztn2roaw
על ספינות הפיראטים:
https://youtu.be/v7IFTF0pSD4
בשיר "לו הייתי פיראט" מדמיין האוהב את עצמו כפיראט (עברית):
https://youtu.be/NL3EXlFQ47U?t=1m46s
האם תוכלו להיות פיראטים? - נסו לפתור את חידת הפיראטים (מתורגם):
https://youtu.be/Mc6VA7Q1vXQ
כתבה על פיראטים מודרניים ודי מסוכנים:
https://youtu.be/6XtuPck0b4U?long=yes
עובדות ששווה לדעת על הפיראטים:
https://youtu.be/zaZZ2IJDuy4?long=yes
הפיראטים המפורסמים ב"תור הזהב של הפיראטים":
https://youtu.be/7aVar50XIrU?long=yes
וסרט תיעודי על הפיראטים האמיתיים של אזור הקאריביים:
https://youtu.be/4X4Fy8YqysY?long=yes
מהי דילמת האסיר?
דילמת האסיר היא פרדוקס קלאסי שהפך לבסיס של תורת המשחקים. הדילמה, שנוסחה ב-1950 על ידי 2 כלכלנים אמריקאיים, ממחישה מצבי יום-יום של התלבטויות חברתיות.
הנה הדוגמה:
נניח ששני פושעים ביצעו פשע ביחד ונחקרים על ידי המשטרה. אם יורשעו, הם יודעים שכל אחד מהם ייכנס לכלא ל-15 שנה. אם לא יהיו בידי המשטרה ראיות, ברור להם שהם יועמדו לדין על עבירה משנית וייכנסו לכלא לשנה אחת כל אחד. בהיעדר ראיות, מציעה המשטרה לכל אחד מהם להעיד נגד חברו ולהכנס לכלא לחמש שנים. אם רק אחד מהם יעיד וחברו לא יעיד כנגדו, זה שהעיד ייצא מיד לחופשי וחברו ייכנס לכלא למשך 15 שנה. מה עליהם לעשות?
הפתרון פשוט - על כל אחד מהם, בלי קשר להתנהגותו חברו, להסכים להעיד. כך הוא ישפר בכל מקרה את מצבו המשפטי. אבל הפרדוקס, הוא שאם שניהם יחליטו לא להעיד, יהיה מצבם הכי טוב (כזכור, הם ייכנסו לכלא לשנה אחת בלבד).
במקרה הזה תורת המשחקים קובעת שהטקטיקה המנצחת היא לבגוד בשותפך לדבר עבירה ולהעיד. כך יהיה הסיכוי לעונש פחות בהרבה.
הפרדוקס מציג כשל בזרימת מידע בין אנשים או גופים, שנאלצים לקבל החלטות, ללא מידע חיוני. דוגמאות לא חסרות לדילמת האסיר בהקשרים היסטוריים ועכשוויים. בתקופת השואה למשל, הודגמה דילמת האסיר שוב ושוב בהתנהגותם של אסירים שהתלבטו אם להימלט ולסכן את חבריהם לפלוגת עבודה או הבלוק.
להבדיל, בעולם העיסקי יש החלטות רבות שאופיין דומה, אך כאן מתלבטות הנהלות של חברות עיסקיות כיצד לנהוג למול החלטות אפשריות של המתחרים, או קבוצות אחרות בקרב בעלי המניות או מקבלי ההחלטות.
הנה דילמת האסיר (מתורגם):
https://youtu.be/t9Lo2fgxWHw
דילמת האסיר מוסברת:
https://youtu.be/emyi4z-O0ls
ועם מעט חיוך, מה קורה כשנכנסים עם הדילמה של האסיר ל... שירותים (עברית):
https://youtu.be/G-jSgLRD_kg
מה החידה בווריאציות אניגמה?
בתחילת המאה ה-20, כשהוא כבר בן 42, גיל לא צעיר למלחין בתקופתו, פרסם אדוארד אלגר את היצירה הסימפונית הראשונה שלו, "וריאציות אניגמה". ביצוע הבכורה שלה בלונדון, בניצוחו של המנצח הגרמני הנודע הנס ריכטר, היה הצלחה אדירה והפכה את אלגר לאחד המלחינים המפורסמים בתולדות בריטניה.
הווריאציות הללו הן שהפכו את אלגר לדמות בינלאומית מפורסמת ולכשרון מוכר כמלחין. המוסיקה הנהדרת שהוא כתב בהן הפכה אותן לאחת היצירות האהובות גם על המאזין הקלאסי וגם על מארגני טקסים בממלכה הגדולה, שהייתה בתקופתו האימפריה הגדולה בעולם.
אבל השבחים הרבים שקצרה יצירתו התזמורתית הראשונה של אלגר "וריאציות אניגמה", היו לא רק בגלל איכותה המוסיקלית. היה שם עוד משהו וכנראה שהרבה מהעניין שהיא מעוררת עד היום קשורה מעט גם בסיבה הזו.
כי מירב תשומת הלב ניתנה לאניגמה של "אניגמה", כלומר התעלומה או החידה של "אניגמה".
הכירו מילה: "אניגמה" באנגלית פירושה חידה. דבר "אנגימטי" הוא דבר חידתי.
ב"ווריאציות אניגמה" מסתתרת חידה שגלומה בה ואיש עדיין לא פתר. החידה היא על אודות הנושא שעליו מבוססות הווריאציות.
בואו נבין רגע מהם נושא ווריאציות.
בכל יצירה של נושא ווריאציות במוסיקה קלאסית מחברים המלחינים וריאציות, כלומר שינויים או פיתוחים מוסיקליים על נושא.
הנושא הוא בעצם מנגינה קיימת שאותה לוקח המלחין ועליה הוא מתבסס, כשהוא מלחין ווריאציות שונות. לכל וריאציה יש סוג או אופי אחר של שינוי בנושא, או של פיתוח שלו.
ב"וריאציות אניגמה" אלגר לא גילה מהו הנושא שלקח ושעליו כתב את הווריאציות.
ההשערות המושמעות מדי פעם לגבי המנגינה הזו התבדו כולן. איש לא הצליח לפענח עד היום מהי המלודיה שעליה מתבססות הווריאציות, או במילים של מוזיקאים - מהו הנושא שעליו מבוססות הווריאציות.
השערות, אגב, לא חסרו. הסברות אודות פתרון החידה הגלומה בווריאציות נעו ממלודיה מתוך סימפוניית "פראג" של מוצרט ועד לנעימות של שופן ואפילו שירי-עם שונים.
היו שטענו גם שבעצם הידידות היא הנושא של הווריאציות, שכן הווריאציות הוקדשו לידידיו וחבריו של אלגר.
היו עוד ניסיונות וניחושים רבים, אך החידה של המנגינה המסתורית החסרה לא נפתרה מעולם. איש לא יודע עד היום מהו הנושא.
כלומר האניגמה, החידה, היא מהי המנגינה שאלגר כתב לה וריאציות יפות ונהדרות כל כך.
ברור, עם זאת, שאלגר השיג את תשומת הלב שרצה להשיג ליצירתו המרשימה. אולי זה הפתרון האמיתי, כי יתכן שמבלי לדעת הוא היה איש שיווק מעולה שזרק טיזר לאוויר, כזה שכולם מדברים עליו עד היום, נמשכים ליצירה הזו כמו במגנט ולא מצליחים לעזוב.
כל וריאציה מוקדשת, כאמור, לאחד מרעיו של אלגר:
1. רעייתו האהובה של אלגר
2. פסנתרן שהיה מנגן עם אלגר בשלישיה ומוצג באופן פארודי
3. חבר של אלגר שהוא בעל קול נמוך והבאסון מייצגו כאן
4. בעל אחוזה הקורא לאורחיו את מקומם וסוגר את הדלת
5. בנו של משורר עם הערות פקחיות וחילופי מצב-רוח
6. ויולנית חובבת המתאמצת לתרגל נגינה מצויינת ב...ויולה
7. פסנתרן תלמיד שמורהו מנסה להשליט סדר בנגינתו
8. גברת חיננית וקלת -דעת
9. נמרוד, הוריאציה המפורסמת מכולן ומוקדשת לחברו הטוב, נמרוד הצייד. הקטע משמש כנעימת אבל בלוויות רשמיות, כמו זו של הנסיכה דיאנה או הנסיך פיליפ ולטקסים המוקדשים לחיילים שנפלו.
10. הנעימה "דורַבֶּלה" העדינה והרוגעת
11. האורגניסט מהכנסיה וכלבו השוחה כנגד הזרם בנהר אליו נפל
12. הצ'לן משלישייתו של אלגר עליה נמנה גם הפסנתרן מוריאציה 2
13. ידידה שהכיר אלגר בספינה בה שט והוא מצטט קטע מ"שלוות הים" של מנדלסון
14. הווראציה בה מתאר המלחין את עצמו - נלחם ומנצח וזוכה לתהילה המגיעה לו
הנה וריאציית נמרוד, המפורסמת מבין וריאציות אניגמה, בניצוח לאונרד ברנשטיין:
https://youtu.be/_8NOVGHJmRs
ביצוע נוסף בניצוחו של דודמל:
https://youtu.be/Cn9oXU8k5qE
וריאציית נמרוד מספר 9 על ידי תזמורת כלי נשיפה בטקס בבריטניה:
https://youtu.be/Aen4P1bCJlw
וריאציות אניגמה במלואן:
https://youtu.be/vLNLvcBmoqo?long=yes
מהי התזמורת הסימפונית?
התזמורת הסימפונית (Symphonic Orchestra), או בשמה הנרדף תזמורת פילהרמונית, היא תזמורת המנגנת מוסיקה קלאסית, התזמורת הכי נפוצה מבין התזמורות והגדולה מכל התזמורות.
לרוב מנגנת התזמורת הסימפונית מוסיקה קלאסית, מהתקופות השונות בתולדות המוסיקה, החל מתקופת הבארוק ועד למוסיקה בת זמננו.
בתזמורת זו נכללים עשרות או אף מאות נגנים, מ-60 נגנים ויותר. בתזמורת הפילהרמונית הישראלית, למשל, יש כ-100 נגנים.
בתזמורת הסימפונית מיוצגות כל מחלקות המוסיקה (מה שקרוי סקציות). בכל קבוצת כלים כזו יש נגן ראשון, נגן שאחראי לסקציה כולה ומנגן מפעם לפעם קטעי סולו ביצירות שונות.
את התזמורת מנהל מוסיקלית המנצח (ראו בתגית "מנצח תזמורת"). הוא מכין אותה לביצוע ומנצח במהלך הקונצרט. אך בראש התזמורת עומד ומסייע למנצח הכנר הראשי, המכונה מסורתית "קונצרטמייסטר".
#סקציות - מחלקות הכלים
בין קבוצות הכלים התזמורת הסימפונית נכללים:
כלי קשת - נכללים בהם כינור, ויולה, צ'לו וקונטרבס. זו קבוצת הקשתים, הסקציה הגדולה ביותר בתזמורת.
כלי נשיפה ממתכת - חצוצרה, קרן יער, טרומבון, טובה.
כלי נשיפה מעץ - פיקולו, חליל צד, אבוב, קלרנית ובסון.
כלי הקשה - טימפני, צ'לסטה, פעמונים, מצלתיים וקסילופון.
#הרכב התזמורת
הרכבי הכלים משתנים לפי הצורך והיצירה המנוגנת. יש הבדלים ברורים בין יצירות מתקופת הבארוק, כמו המיסות או הפסיון של באך, ליצירות מהתקופה הקלאסית דוגמת העידן ומוצרט ויצירות מהתקופה הרומנטית, כמו אלה של ברליוז, מאהלר ועד ליצירות מהמאה ה-20, כמו אלה של סטרווינסקי או שוסטקוביץ'.
יצירות כמו המיסה בסי מינור או מתאוס פסיון של באך דורשות הרכב שונה של כלים מיצירה של מאהלר, למשל, וביצוע יצירה של יוזף היידן דורש הרכב שונה מזה הדרוש ליצירה של סטרווינסקי.
ביצירות שונות, כמו הקונצ'רטו (יצירה לסולן ולתזמורת), מצטרפים לתזמורת סולנים. ביצירות אחרות מצורפים אליה כלים ייחודיים, שאינם קבועים בתזמורת הסימפונית. ביניהם פסנתר, גיטרה, עוגב ונבל.
הנה כלי התזמורת בשיר:
https://youtu.be/JVY4tj-JTBc
התזמורת הסימפונית ירושלים מנגנת:
https://youtu.be/3bi7YnYZWPo
נגן בתזמורת מספר על עצמו ועליה (עברית):
https://youtu.be/YQh8EwPUPFM
תזמורת סימפונית מבצעת קונצ'רטו של באך עם שתי ילדות פלא נהדרות (עברית):
https://youtu.be/cBJXIfYE6i8
התזמורת הסימפונית ירושלים מנגנת את התקווה בקורונה:
https://youtu.be/HY9G3kp5ux0
הנה כלי התזמורת, אחד אחרי השני:
https://youtu.be/EfedK-dqXWc
הכינו את עצמכם לזיהוי הכלים של התזמורת הסימפונית:
https://youtu.be/dcm-1UP5O2Y
ובחנו את עצמכם בזיהוי כלי התזמורת:
https://youtu.be/tb0gHAzpQPE
מהם מגדלי האנוי?
מגדלי האנוי הם שם של חידה מפורסמת שהומצאה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס בשנת 1883. ב"מגדלי הנוי" נתון מגדל עם דיסקיות שהיקפן הולך ונעשה קטן ככל שהן עליונות (הרחבות למטה). מטרת החידה היא להעביר את כל המגדל בשלמותו לאחד משני העמודים הריקים שלידו. כמובן שיש להעביר את הדיסקיות במה שפחות צעדים וכמה שיותר מהר.
החידה משמשת ללימוד מתמטיקה ומדעי המחשב ולהמחשת מושגים כמו רקורסיה (ראו באאוריקה בתגית "רקורסיה"). עוד פרט מעניין - אם נסמן בנקודה כל מצב חוקי במשחק מגדלי האנוי, ונקשר בקווים את המצבים שבהם אפשר לעבור מאחד לשני, נקבל למול עינינו את גרף המשחק, בצורה של הפרקטל המוכר כ"משולש שרפינסקי".
אגב, לוקאס המציא גם אגדה שמדובר במקדש בראהמי שבו הכהנים מעבירים מגדל בן 64 דיסקיות. על פי האגדה שלו, כשיסיימו הכהנים את עבודתם, יגיע גם סוף העולם..
ישנם כללים להעברה:
א. בכל שלב תעבור רק דיסקית אחת מקום.
ב. אסור שיהיה מצב שדיסקית תהיה מונחת על דיסקית קטנה יותר.
הנה דרך לפתרון של חידת מגדלי האנוי:
http://youtu.be/BMkOBNZHcIs
מי פתר את חידת גשרי קניגסברג?
המתמטיקאי החשוב ביותר של המאה ה-18 היה לאונרד אוֹילֶר השווייצרי, שאת רוב חייו בילה ברוסיה ובגרמניה. עם 886 ספרים ומאמרים שפרסם בחייו, חלק גדול מהם בשנים שבהן סבל מעיוורון, הוא נחשב מהפוריים שבמתמטיקאים.
אוילר תרם תרומה מכרעת לתחומים רבים ומגוונים במתמטיקה. הוא גם היה זה שהכניס לשימוש סימנים מתמטיים רבים שמקובלים כיום, כמו למשל, בקביעת האות היוונית פיי לסימון היחס בין הקף של מעגל לקוטר שלו. אוילר הוא גם המייסד של תורת הגרפים, שחשיבותה בחייו לא נראתה אולי גדולה מדי, אך בעידן המודרני יש לגרפים חשיבות רבה וכמעט אי-אפשר לראות התנהלות מדעית, הנדסית וכלכלית ללא הגרפים שמציגים רעיונות ותהליכים כל כך טוב.
חידת גשרי קניגסברג היא חידה שבה יש מערכת גשרים (בעיר אמיתית, אגב) שבה רצה אוילר למצוא מסלול שעובר בכל הגשרים ופעם אחת בלבד בכל גשר.
הנה סרטון שמציג את בעיית גשרי קניגסברג (מתורגם):
https://youtu.be/nZwSo4vfw6c
קביעתו החכמה של אוילר לגבי פתרונה (עברית):
http://youtu.be/-LqxT1SMgR0?t=3m13s
יצוג מוסרט של בעיית הגשרים של קניגסברג:
http://youtu.be/2qBZ1-9VuLA
וסרטון קצר על לאונרד אוילר:
http://youtu.be/Ty6ejK1rAkg
פרדוקס (Paradox) הוא טענה שסותרת את עצמה, אמת שכוללת סתירה.
ברוב המקרים הפרדוקס כולל סתירה פנימית. במקרה כזה נובעים מהפרדוקס עצמו דבר והיפוכו. לעתים כולל הפרדוקס דווקא סתירה חיצונית ואז הוא סותר ידע קודם, או הנחה קודמת. נואמים נעזרים לעתים בפרדוקסים, על מנת לשכנע את השומעים לנטוש את דעותיהם.
דוגמה לסתירה פנימית שיוצרת פרדוקס הוא למשל "פרדוקס השקרן". בבסיס פרדוקס עומד המשפט "משפט זה הוא משפט שקר" - ננסה לברר... האם המשפט שקר? או שמה המשפט אמת?
ראשית נניח כי המשפט אמת, כלומר, המשפט "משפט זה הוא משפט שקר" הוא אמת. כעת נבדוק, האם ההנחה שלנו מתקיימת? - כמובן שלא. הנחה שלנו כי המשפט אמת איננה מתקיימת, מכיוון שהיא עומדת בסתירה לטענת המשפט כי המשפט הוא שקר. וקיבלנו סתירה להנחה שלנו כי המשפט אמת.
כעת ננסה להניח שהמשפט שקר, כלומר, המשפט "משפט זה הוא משפט שקר" הוא שקר. כעת נבדוק, האם ההנחה שלנו מתקיימת? - גם במקרה הזה, ההנחה איננה מתקיימת. הנחנו כי המשפט הוא שקר, וטענת המשפט היא שהמשפט הוא שקר. הרי שקיבלנו סתירה, כי אם המשפט הוא שקר אזי טענת המשפט כי המשפט הוא שקר תהיה טענת אמת, ולכן המשפט יהיה אמת וזה בסתירה להנחה שלנו כי המשפט הוא שקר.
למעשה, לא ניתן לקבוע האם המשפט "משפט זה הוא משפט שקר", הוא משפט אמת או משפט שקר. המשפט הוא משפט פרדוקסלי הסותר את עצמו וזו היא דוגמא ל"פרדוקס השקרן".
המילה פרדוקס באה מיוונית: para = מעבר למשהו ו-doxa = אמונה, דעה. בפילוסופיה יש לא מעט פרדוקסים מפורסמים (כמה מהם ניתן למצוא באאוריקה בתגית "פרדוקסים").
הנה הסבר מושג הפרדוקס:
http://youtu.be/tye7vejSY7k
הפיראטים (Pirates) של הים הקריבי ואזור החוף המזרחי של אמריקה הם לא אגדה או המצאה הוליוודית. מדובר בשודדי ים אכזריים ונחושים ששלטו באזור ימי נרחב, באוקיינוס האטלנטי. הם תקפו ספינות צבא, ערי חוף ובמיוחד ספינות ששטו עם אוצרות שנלקחו מהיבשת החדשה, בדרכן אל העולם הישן, אל יבשת אירופה.
האמת היא ששודדי ים היו קיימים מאז ומעולם ופיראטיות התקיימה מאז שחר ימי הימאות. היא קיימת מאז שהעז האדם להפליג בים ובעיקר מאז החלו ספנים להפליג לארצות רחוקות למטרות מסחר והבאה של דברי ערך, אבני חן, מתכות ומחצבים יקרים.
בין המאות ה-15 עד ה-19 התקיימה פיראטיות רבה, כשבין השנים 1650 ל-1730 בערך מתקיים מה שנקרא "תור הזהב של הפיראטים". התקופה הזו מתחילה עם נצחונה של אנגליה במלחמת אנגליה וספרד, מלחמה שנמשכה 12 שנים והתקיימה בין שתי אימפריות חזקות מאוד, מהחזקות באירופה של אותם ימים.
האימפריה של ספרד באותה תקופה היא עדיין כוח משמעותי, עד שלילה אחד היא מאבדת את צי האוצר שלה. זו הייתה תבוסה קשה, בה ספרד מאבדת, כמעט בין לילה אחד, את כל עושרה. זה היה שלל אגדי ועצום, שירד למצולות עם ספינותיה של ספרד שהוטבעו.
השלל הזה, כמו החורבן הכלכלי הספרדי, הוליד מסע של פיראטיות שעתיד כמעט לחסל את סחר הספנות האנגלי. אבל הצלחת הפירטים הספרדים משכה גם לא מעט ספנים ששמירת חוק לא הייתה מתכונותיהם הבולטות. הם הופכים להיות בעצמם פירטים, שודדי ים למען עצמם.
הפירטים הללו היו בחלקם הגדול ימאים לשעבר שחיפשו חיים טובים ומסעירים, אחרי שנים של הפלגות בשכר נמוך או בשירות צבאי. אך היו ביניהם גם מחוסרי עבודה, שפוטרו עם סיום מלחמת הירושה הספרדית והמלחמות הקולוניאליות. לפיראטיות הצטרפו גם פושעים נמלטים, נפלטי החברה המסודרת וסתם הרפתקנים מחפשי ריגוש.
הם זכו לפרסום אגדי באותם ימים. הם הטילו פחד ואימה על האימפריות הכי חזקות בעולם והיו הסיוט האכזרי והרצחני של המלחים.
לצד הפשעים שלהם, התמקמו הפיראטים בבסיסים באזורים מרוחקים כמו מדגסקר ואיי הבהאמה. קשה אולי להאמין, אך הם פיתחו מעין תרבות פיראטית, שכללה חלוקת שלל שוויונית, חוקים וקודים של התנהגות נאותה ביניהם ובחירה דמוקרטית של המנהיגים.
בין שודדי הים המפורסמים של התקופה נודעו אדוארד טץ' או טיץ' שהתפרסם כ"שחור הזקן" ונודע באכזריותו, הנרי מורגן שפשט על הספרדים ושרף את פנמה סיטי עד היסוד, סמואל בלמי, הוא "סאם השחור" שנודע גם כ"רובין הוד של הפיראטים", וויליאם קיד, שהוצא להורג והותיר אחריו אוצר קבור ומסתורי, אן בוני שהייתה פיראטית אישה, בנג'מין הורניגולד, הנרי ג'נינגס האכזר ועוד.
סופו של תור הזהב של הפיראטים הגיע בסביבות שנות ה-30 של המאה ה-18. הסיבות מגוונות, החל מאכיפה נגדם על ידי הצי המלכותי הבריטי ומדינות נוספות, חקיקה של חוקים נגד פיראטיות באירופה, שיפורים טכנולוגיים שהקשו עליהם את הפשיטות על ספינות וכיבוש בסיסיהם על ידי המעצמות הקולוניאליות.
איכשהו, בתרבות של ימינו זכתה הפיראטיות לתדמית מלהיבה ורומנטית, של "רובין הודים", ספנים נועזים ושוחרי שוויון, הלוקחים מהעשירים שגזלו את העניים ומחזירים להם כראוי. הם משחררים עבדים שחורים והופכים דווקא את השבויים הלבנים שלהם לעבדים, שישוחררו רק תמורת כופר גדול.
התקופה הזו הולידה שלל אגדות וסיפורים מדהימים, מלאים בקרבות חרבות ושופעים אוצרות אדירים של ממון וזהב, מטמונים שמוחבאים באיים סודיים ומפות אוצר עתיקות, שמסעירות עד היום את הדמיון.
לקראת סוף המאה ה-19 נראה היה שעבר עידן שודדי הים. אך בשנות ה-70 של המאה הקודמת החלה להירשם עלייה הדרגתית ברורה במקרי פיראטיות ימית. בשנים האחרונות התרחשו מקרים לא מעטים של מעשי שוד ימי, מרביתם בקרבת חופי סומליה שבאפריקה.
להיכרות עם הפיראטים המפורסמים, ראו בתגית "פיראטים".
הנה הפיראטים של פעם:
https://youtu.be/pFYp0RN8HMI
מיתוסים נכונים על פיראטים:
https://youtu.be/p3fztn2roaw
על ספינות הפיראטים:
https://youtu.be/v7IFTF0pSD4
בשיר "לו הייתי פיראט" מדמיין האוהב את עצמו כפיראט (עברית):
https://youtu.be/NL3EXlFQ47U?t=1m46s
האם תוכלו להיות פיראטים? - נסו לפתור את חידת הפיראטים (מתורגם):
https://youtu.be/Mc6VA7Q1vXQ
כתבה על פיראטים מודרניים ודי מסוכנים:
https://youtu.be/6XtuPck0b4U?long=yes
עובדות ששווה לדעת על הפיראטים:
https://youtu.be/zaZZ2IJDuy4?long=yes
הפיראטים המפורסמים ב"תור הזהב של הפיראטים":
https://youtu.be/7aVar50XIrU?long=yes
וסרט תיעודי על הפיראטים האמיתיים של אזור הקאריביים:
https://youtu.be/4X4Fy8YqysY?long=yes
דילמת האסיר היא פרדוקס קלאסי שהפך לבסיס של תורת המשחקים. הדילמה, שנוסחה ב-1950 על ידי 2 כלכלנים אמריקאיים, ממחישה מצבי יום-יום של התלבטויות חברתיות.
הנה הדוגמה:
נניח ששני פושעים ביצעו פשע ביחד ונחקרים על ידי המשטרה. אם יורשעו, הם יודעים שכל אחד מהם ייכנס לכלא ל-15 שנה. אם לא יהיו בידי המשטרה ראיות, ברור להם שהם יועמדו לדין על עבירה משנית וייכנסו לכלא לשנה אחת כל אחד. בהיעדר ראיות, מציעה המשטרה לכל אחד מהם להעיד נגד חברו ולהכנס לכלא לחמש שנים. אם רק אחד מהם יעיד וחברו לא יעיד כנגדו, זה שהעיד ייצא מיד לחופשי וחברו ייכנס לכלא למשך 15 שנה. מה עליהם לעשות?
הפתרון פשוט - על כל אחד מהם, בלי קשר להתנהגותו חברו, להסכים להעיד. כך הוא ישפר בכל מקרה את מצבו המשפטי. אבל הפרדוקס, הוא שאם שניהם יחליטו לא להעיד, יהיה מצבם הכי טוב (כזכור, הם ייכנסו לכלא לשנה אחת בלבד).
במקרה הזה תורת המשחקים קובעת שהטקטיקה המנצחת היא לבגוד בשותפך לדבר עבירה ולהעיד. כך יהיה הסיכוי לעונש פחות בהרבה.
הפרדוקס מציג כשל בזרימת מידע בין אנשים או גופים, שנאלצים לקבל החלטות, ללא מידע חיוני. דוגמאות לא חסרות לדילמת האסיר בהקשרים היסטוריים ועכשוויים. בתקופת השואה למשל, הודגמה דילמת האסיר שוב ושוב בהתנהגותם של אסירים שהתלבטו אם להימלט ולסכן את חבריהם לפלוגת עבודה או הבלוק.
להבדיל, בעולם העיסקי יש החלטות רבות שאופיין דומה, אך כאן מתלבטות הנהלות של חברות עיסקיות כיצד לנהוג למול החלטות אפשריות של המתחרים, או קבוצות אחרות בקרב בעלי המניות או מקבלי ההחלטות.
הנה דילמת האסיר (מתורגם):
https://youtu.be/t9Lo2fgxWHw
דילמת האסיר מוסברת:
https://youtu.be/emyi4z-O0ls
ועם מעט חיוך, מה קורה כשנכנסים עם הדילמה של האסיר ל... שירותים (עברית):
https://youtu.be/G-jSgLRD_kg
בתחילת המאה ה-20, כשהוא כבר בן 42, גיל לא צעיר למלחין בתקופתו, פרסם אדוארד אלגר את היצירה הסימפונית הראשונה שלו, "וריאציות אניגמה". ביצוע הבכורה שלה בלונדון, בניצוחו של המנצח הגרמני הנודע הנס ריכטר, היה הצלחה אדירה והפכה את אלגר לאחד המלחינים המפורסמים בתולדות בריטניה.
הווריאציות הללו הן שהפכו את אלגר לדמות בינלאומית מפורסמת ולכשרון מוכר כמלחין. המוסיקה הנהדרת שהוא כתב בהן הפכה אותן לאחת היצירות האהובות גם על המאזין הקלאסי וגם על מארגני טקסים בממלכה הגדולה, שהייתה בתקופתו האימפריה הגדולה בעולם.
אבל השבחים הרבים שקצרה יצירתו התזמורתית הראשונה של אלגר "וריאציות אניגמה", היו לא רק בגלל איכותה המוסיקלית. היה שם עוד משהו וכנראה שהרבה מהעניין שהיא מעוררת עד היום קשורה מעט גם בסיבה הזו.
כי מירב תשומת הלב ניתנה לאניגמה של "אניגמה", כלומר התעלומה או החידה של "אניגמה".
הכירו מילה: "אניגמה" באנגלית פירושה חידה. דבר "אנגימטי" הוא דבר חידתי.
ב"ווריאציות אניגמה" מסתתרת חידה שגלומה בה ואיש עדיין לא פתר. החידה היא על אודות הנושא שעליו מבוססות הווריאציות.
בואו נבין רגע מהם נושא ווריאציות.
בכל יצירה של נושא ווריאציות במוסיקה קלאסית מחברים המלחינים וריאציות, כלומר שינויים או פיתוחים מוסיקליים על נושא.
הנושא הוא בעצם מנגינה קיימת שאותה לוקח המלחין ועליה הוא מתבסס, כשהוא מלחין ווריאציות שונות. לכל וריאציה יש סוג או אופי אחר של שינוי בנושא, או של פיתוח שלו.
ב"וריאציות אניגמה" אלגר לא גילה מהו הנושא שלקח ושעליו כתב את הווריאציות.
ההשערות המושמעות מדי פעם לגבי המנגינה הזו התבדו כולן. איש לא הצליח לפענח עד היום מהי המלודיה שעליה מתבססות הווריאציות, או במילים של מוזיקאים - מהו הנושא שעליו מבוססות הווריאציות.
השערות, אגב, לא חסרו. הסברות אודות פתרון החידה הגלומה בווריאציות נעו ממלודיה מתוך סימפוניית "פראג" של מוצרט ועד לנעימות של שופן ואפילו שירי-עם שונים.
היו שטענו גם שבעצם הידידות היא הנושא של הווריאציות, שכן הווריאציות הוקדשו לידידיו וחבריו של אלגר.
היו עוד ניסיונות וניחושים רבים, אך החידה של המנגינה המסתורית החסרה לא נפתרה מעולם. איש לא יודע עד היום מהו הנושא.
כלומר האניגמה, החידה, היא מהי המנגינה שאלגר כתב לה וריאציות יפות ונהדרות כל כך.
ברור, עם זאת, שאלגר השיג את תשומת הלב שרצה להשיג ליצירתו המרשימה. אולי זה הפתרון האמיתי, כי יתכן שמבלי לדעת הוא היה איש שיווק מעולה שזרק טיזר לאוויר, כזה שכולם מדברים עליו עד היום, נמשכים ליצירה הזו כמו במגנט ולא מצליחים לעזוב.
כל וריאציה מוקדשת, כאמור, לאחד מרעיו של אלגר:
1. רעייתו האהובה של אלגר
2. פסנתרן שהיה מנגן עם אלגר בשלישיה ומוצג באופן פארודי
3. חבר של אלגר שהוא בעל קול נמוך והבאסון מייצגו כאן
4. בעל אחוזה הקורא לאורחיו את מקומם וסוגר את הדלת
5. בנו של משורר עם הערות פקחיות וחילופי מצב-רוח
6. ויולנית חובבת המתאמצת לתרגל נגינה מצויינת ב...ויולה
7. פסנתרן תלמיד שמורהו מנסה להשליט סדר בנגינתו
8. גברת חיננית וקלת -דעת
9. נמרוד, הוריאציה המפורסמת מכולן ומוקדשת לחברו הטוב, נמרוד הצייד. הקטע משמש כנעימת אבל בלוויות רשמיות, כמו זו של הנסיכה דיאנה או הנסיך פיליפ ולטקסים המוקדשים לחיילים שנפלו.
10. הנעימה "דורַבֶּלה" העדינה והרוגעת
11. האורגניסט מהכנסיה וכלבו השוחה כנגד הזרם בנהר אליו נפל
12. הצ'לן משלישייתו של אלגר עליה נמנה גם הפסנתרן מוריאציה 2
13. ידידה שהכיר אלגר בספינה בה שט והוא מצטט קטע מ"שלוות הים" של מנדלסון
14. הווראציה בה מתאר המלחין את עצמו - נלחם ומנצח וזוכה לתהילה המגיעה לו
הנה וריאציית נמרוד, המפורסמת מבין וריאציות אניגמה, בניצוח לאונרד ברנשטיין:
https://youtu.be/_8NOVGHJmRs
ביצוע נוסף בניצוחו של דודמל:
https://youtu.be/Cn9oXU8k5qE
וריאציית נמרוד מספר 9 על ידי תזמורת כלי נשיפה בטקס בבריטניה:
https://youtu.be/Aen4P1bCJlw
וריאציות אניגמה במלואן:
https://youtu.be/vLNLvcBmoqo?long=yes
חידות
התזמורת הסימפונית (Symphonic Orchestra), או בשמה הנרדף תזמורת פילהרמונית, היא תזמורת המנגנת מוסיקה קלאסית, התזמורת הכי נפוצה מבין התזמורות והגדולה מכל התזמורות.
לרוב מנגנת התזמורת הסימפונית מוסיקה קלאסית, מהתקופות השונות בתולדות המוסיקה, החל מתקופת הבארוק ועד למוסיקה בת זמננו.
בתזמורת זו נכללים עשרות או אף מאות נגנים, מ-60 נגנים ויותר. בתזמורת הפילהרמונית הישראלית, למשל, יש כ-100 נגנים.
בתזמורת הסימפונית מיוצגות כל מחלקות המוסיקה (מה שקרוי סקציות). בכל קבוצת כלים כזו יש נגן ראשון, נגן שאחראי לסקציה כולה ומנגן מפעם לפעם קטעי סולו ביצירות שונות.
את התזמורת מנהל מוסיקלית המנצח (ראו בתגית "מנצח תזמורת"). הוא מכין אותה לביצוע ומנצח במהלך הקונצרט. אך בראש התזמורת עומד ומסייע למנצח הכנר הראשי, המכונה מסורתית "קונצרטמייסטר".
#סקציות - מחלקות הכלים
בין קבוצות הכלים התזמורת הסימפונית נכללים:
כלי קשת - נכללים בהם כינור, ויולה, צ'לו וקונטרבס. זו קבוצת הקשתים, הסקציה הגדולה ביותר בתזמורת.
כלי נשיפה ממתכת - חצוצרה, קרן יער, טרומבון, טובה.
כלי נשיפה מעץ - פיקולו, חליל צד, אבוב, קלרנית ובסון.
כלי הקשה - טימפני, צ'לסטה, פעמונים, מצלתיים וקסילופון.
#הרכב התזמורת
הרכבי הכלים משתנים לפי הצורך והיצירה המנוגנת. יש הבדלים ברורים בין יצירות מתקופת הבארוק, כמו המיסות או הפסיון של באך, ליצירות מהתקופה הקלאסית דוגמת העידן ומוצרט ויצירות מהתקופה הרומנטית, כמו אלה של ברליוז, מאהלר ועד ליצירות מהמאה ה-20, כמו אלה של סטרווינסקי או שוסטקוביץ'.
יצירות כמו המיסה בסי מינור או מתאוס פסיון של באך דורשות הרכב שונה של כלים מיצירה של מאהלר, למשל, וביצוע יצירה של יוזף היידן דורש הרכב שונה מזה הדרוש ליצירה של סטרווינסקי.
ביצירות שונות, כמו הקונצ'רטו (יצירה לסולן ולתזמורת), מצטרפים לתזמורת סולנים. ביצירות אחרות מצורפים אליה כלים ייחודיים, שאינם קבועים בתזמורת הסימפונית. ביניהם פסנתר, גיטרה, עוגב ונבל.
הנה כלי התזמורת בשיר:
https://youtu.be/JVY4tj-JTBc
התזמורת הסימפונית ירושלים מנגנת:
https://youtu.be/3bi7YnYZWPo
נגן בתזמורת מספר על עצמו ועליה (עברית):
https://youtu.be/YQh8EwPUPFM
תזמורת סימפונית מבצעת קונצ'רטו של באך עם שתי ילדות פלא נהדרות (עברית):
https://youtu.be/cBJXIfYE6i8
התזמורת הסימפונית ירושלים מנגנת את התקווה בקורונה:
https://youtu.be/HY9G3kp5ux0
הנה כלי התזמורת, אחד אחרי השני:
https://youtu.be/EfedK-dqXWc
הכינו את עצמכם לזיהוי הכלים של התזמורת הסימפונית:
https://youtu.be/dcm-1UP5O2Y
ובחנו את עצמכם בזיהוי כלי התזמורת:
https://youtu.be/tb0gHAzpQPE
מגדלי האנוי הם שם של חידה מפורסמת שהומצאה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס בשנת 1883. ב"מגדלי הנוי" נתון מגדל עם דיסקיות שהיקפן הולך ונעשה קטן ככל שהן עליונות (הרחבות למטה). מטרת החידה היא להעביר את כל המגדל בשלמותו לאחד משני העמודים הריקים שלידו. כמובן שיש להעביר את הדיסקיות במה שפחות צעדים וכמה שיותר מהר.
החידה משמשת ללימוד מתמטיקה ומדעי המחשב ולהמחשת מושגים כמו רקורסיה (ראו באאוריקה בתגית "רקורסיה"). עוד פרט מעניין - אם נסמן בנקודה כל מצב חוקי במשחק מגדלי האנוי, ונקשר בקווים את המצבים שבהם אפשר לעבור מאחד לשני, נקבל למול עינינו את גרף המשחק, בצורה של הפרקטל המוכר כ"משולש שרפינסקי".
אגב, לוקאס המציא גם אגדה שמדובר במקדש בראהמי שבו הכהנים מעבירים מגדל בן 64 דיסקיות. על פי האגדה שלו, כשיסיימו הכהנים את עבודתם, יגיע גם סוף העולם..
ישנם כללים להעברה:
א. בכל שלב תעבור רק דיסקית אחת מקום.
ב. אסור שיהיה מצב שדיסקית תהיה מונחת על דיסקית קטנה יותר.
הנה דרך לפתרון של חידת מגדלי האנוי:
http://youtu.be/BMkOBNZHcIs
המתמטיקאי החשוב ביותר של המאה ה-18 היה לאונרד אוֹילֶר השווייצרי, שאת רוב חייו בילה ברוסיה ובגרמניה. עם 886 ספרים ומאמרים שפרסם בחייו, חלק גדול מהם בשנים שבהן סבל מעיוורון, הוא נחשב מהפוריים שבמתמטיקאים.
אוילר תרם תרומה מכרעת לתחומים רבים ומגוונים במתמטיקה. הוא גם היה זה שהכניס לשימוש סימנים מתמטיים רבים שמקובלים כיום, כמו למשל, בקביעת האות היוונית פיי לסימון היחס בין הקף של מעגל לקוטר שלו. אוילר הוא גם המייסד של תורת הגרפים, שחשיבותה בחייו לא נראתה אולי גדולה מדי, אך בעידן המודרני יש לגרפים חשיבות רבה וכמעט אי-אפשר לראות התנהלות מדעית, הנדסית וכלכלית ללא הגרפים שמציגים רעיונות ותהליכים כל כך טוב.
חידת גשרי קניגסברג היא חידה שבה יש מערכת גשרים (בעיר אמיתית, אגב) שבה רצה אוילר למצוא מסלול שעובר בכל הגשרים ופעם אחת בלבד בכל גשר.
הנה סרטון שמציג את בעיית גשרי קניגסברג (מתורגם):
https://youtu.be/nZwSo4vfw6c
קביעתו החכמה של אוילר לגבי פתרונה (עברית):
http://youtu.be/-LqxT1SMgR0?t=3m13s
יצוג מוסרט של בעיית הגשרים של קניגסברג:
http://youtu.be/2qBZ1-9VuLA
וסרטון קצר על לאונרד אוילר:
http://youtu.be/Ty6ejK1rAkg
