הצייר ההולנדי מאוריץ קורנליס אֶשֶר (M. C. Escher) היה אמן הולנדי מהזרם הסוריאליסטי, שהתפרסם בעבודות הגרפיות שיצר, בעיקר בטכניקות של הדפסים מאבן, חיתוכי עץ ותחריטי עץ.

על אף שלא היה מתמטיקאי, ביצירותיו של אשר מופיעים פעמים רבות מבנים מדהימים שמבוססים על עקרונות מתמטיים. ביצירותיו הסוריאליסטיות הופיעו שינויי צורה מוזרים ומופלאים, תבניות שחוזרות על עצמן ובהדרגה משתנות, אשליות אופטיות מבלבלות, דברים שלא ייתכנו במציאות וכאלה שסותרים את ההיגיון שלנו. יש בציוריו של אשר יצורים בצד אחד של הדף שהופכים בצד השני ליצורים אחרים, יש ידיים שמציירות את עצמן ועוד ועוד.

וכך, מבלי להיות מתמטיקאי, מלאים ציוריו בהמחשות ויזואליות לרעיונות מתמטיים שונים, כמו רעיון הרקורסיה. הרקורסיה, ההפניה העצמית או דברים שפונים אל עצמם, העסיק מאד גם את המתמטיקאי קורט גדל. על הדמיון והרעיונות הדומים של השניים, ביחד עם שיטות ההלחנה האופייניות של המלחין יוהאן סבסטיאן באך, נכתב אחד הספרים המשפיעים והמעניינים בספרות המדע הפופולארי "גדל, אשר, באך" מאת דאגלס הופשטטר.


הנה סיפורו של הגאון המבריק אם סי אשר (עברית):

https://youtu.be/9a1vwQfj7Uc


סרטון שמציג את הגאונות של אשר:

http://youtu.be/Kcc56fRtrKU


גלריית וידאו של ציוריו המופלאים של אשר:

http://youtu.be/RO1kBTCSIqo


אנימציה המבוססת על יצירתו "עלייה וירידה" והסבר כיצד היא בנויה:

http://youtu.be/Xf9QwQ3JM3Q


שיטה דומה להבין את היצירה "מפל מים" של אשר:

http://youtu.be/Z6OeQtnultc


הסבר על ציוריו המתמטיים:

http://youtu.be/t-Gcz9FIB4w


סרט ארוך על אשר ויצירתו:

http://youtu.be/zCbS6D-y0do?long=yes


על חייו והקריירה של אשר:

http://youtu.be/g4VAxilTRGs?long=yes


ומי המקביל המוסיקלי שלו - באך או אולי...

https://youtu.be/N5yF44IlmzU?long=yes

הליטוגרפיה (בעברית: הדפס אבן) "יחסות" או "יחסיות", של האמן ההולנדי מוריץ קורנליס אשר, שהודפסה בשנת 1953 לראשונה היא יצירה מעניינת שחוקי כוח המשיכה לא חלים עליה. הצייר אשר הירבה "לשחק" עם חוקי טבע בציוריו והתעמק באופן שבו העין רואה את הדברים הלא-הגיוניים שיצר. כמובן שהיצירה יכולה להיחשב סוריאליסטית באופן מסוים.

ב"יחסות" מתאר האמן מבנה משונה שבו מתקיימים מישורים שונים וכוח המשיכה למעשה אינו פועל. הקירות הם גם רצפה והירידה במדרגות היא גם עליה בהן, הלמעלה הוא גם למטה וכן הלאה. יש בציור 16 דמויות חסרות-פנים שמהלכות ב-3 מישורים שונים, המתקיימים בו-זמנית.

איזכורים רבים יש ליצירה "יחסות" באמנות הפופולרית, כמו בסרט "המבוך" שבו עולם דמוי הציור "יחסיות", הקומיקס "החיים בגיהנום" ובפרק מהסדרה "משפחת סימפסון" ובסרט שנוצר ממנה. גם בסדרה "פיוצ'רמה" היה פרק שבו מסרבים גיבורי הסדרה לשלם דמי שכירות עבור מישורים בלתי מנוצלים בדירה דמויית הציור ששכרו.


הנה קטע מהסרט "המבוך", שמתרחש בעולם דמוי "יחסיות" של מ.ק. אשר:

http://youtu.be/2MexutxDdMg


סרטון אנימציה שמתאר את הציור "יחסות" של אשר:

http://youtu.be/JdgPvripL9A


ורבות נכתב על הקשר שבין ציוריו של אשר והמוסיקה של באך או המתמטיקה של המתמטיקאי גדל, כמו בספר Godel, Escher, Bach של הופשטטר בו מופיעה הדוגמה של קנון הסרטן, בו המוסיקה בהלוך ובחזור משתלבת יפה כל כך:

https://youtu.be/miGuET40U7I

טבעת מֶבְּיוּס היא טבעת שאין לה התחלה וסוף. זוהי צורה דו-ממדית בעלת משטח שיש לו צד אחד ושפה אחת בלבד. קראתם נכון - לטבעת מביוס אין שני צדדים אלא צד אחד בלבד!

אבל איך זה יכול להיות? - הרי תמיד למדנו שלכל חפץ יש לפחות שני צדדים, אז איך יתכן שפתאום יש כאן חפץ שיש לו רק צד אחד בלבד? - ובכן, החפץ המופלא והמתעתע הזה הוא בדיוק כזה. יש שקוראים לו רצועת מביוס, לולאת מביוס או חגורת מביוס אבל כל השמות הללו מתייחסים לאותו הדבר בדיוק. אפשר לתאר את רצועת מביוס כמעיין רצועה שקצה אחד שלה פותל וחובר לקצה השני שלה. אם ניקח סרט ארוך נסובב ב180° את אחד מהקצוות שלו ונחבר לקצה השני. נקבל רצועת מביוס - רצועה בעלת צד אחד בלבד.

במתמטיקה "יריעה אוריינטבילית" היא יריעה שניתן לבחור לה צד כלומר יש לה 2 צדדים לפחות, דף נייר הוא הוא דוגמא ליריעה אוריינטבילית בעלת שני צדדים, אך "יריעה לא אוריינטבילית" מוגדרת כיריעה בעלת צד אחד בלבד, ורצועת מביוס היא דוגמא ליריעה שכזו. רצועת מביוס קרויה על שמו של המתמטיקאי והאסטרונום הגרמני שגילה אותה - אוגוסט פרדיננד מביוס.


כך הופכים סרט לטבעת מביוס:

https://www.youtube.com/watch?v=Z30c5wvoS_s


טבעת המביוס וכמה שהיא מעניינת:

http://youtu.be/lR9vnngtzbU


הוכחה לצידה האחד של הטבעת, בצורת מרדף אחרי חרק:

http://youtu.be/j-1zlR0jBWk


אנימציה של נמלים, ברוח הציורים של מאוריץ קורנליס אֶשֶר, של נמלים ההולכות במסלול האין סופי של טבעת מביוס:

http://youtu.be/pGy-WxLaKl8


קנון הסרטן - טבעת מביוס מוסיקלית שיצר המלחין יוהן סבסטיאן באך ומהווה סוג של קנון עם פוטנציאל להיות קנון אינסופי:

https://youtu.be/xUHQ2ybTejU


וטבעת מביוס בעיצוב סופר מריו שהודפסה במדפסת תלת מימד, עם הסבר קצר על הליך העיצוב וההכנה שלה:

https://www.youtube.com/watch?v=6c3z2ZGvShM